2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第29讲 数列的概念与通项公式

31.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.3.会用观察法、递推法等求数列的通项公式.51.数列的概念(1)数列是按一定①排列的一列数，记作a1,a2,a3,…,an,…，简记{an}.(2)数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的②.顺序通项公式6(3)数列可以看做定义域为N*(或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时，对应的一列函数值，它的图象是一群③.2.数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）.孤立的点3.数列分类(1)按照数列的项数分④、.(2)按照任何一项的绝对值是否超过某一正常数分:⑤、.(3)从函数单调性角度考虑分：递增数列、⑥、常数列、⑦.4.数列通项an与前n项和Sn的关系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧.有穷数列无穷数列有界数列无界数列递减数列摆动数列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)1.下面四个结论：①数列是以正整数集或其真子集为定义域的函数；②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；③数列的项数是无限的；④数列通项的表示是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【解析】①②显然正确，数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故③不正确；数列1,0,1,0，…的通项an＝0n为正偶数1n为正奇数，或an＝12[1＋(－1)n＋1]，n∈N*，故④也不正确．2.若某数列{an}的前四项为0，2，0，2，则下列各式：①an＝22[1＋(－1)n];②an＝1＋－1n；③an＝2n是正偶数0n是正奇数.其中可作为数列{an}的通项公式的是()A．①B．①②C．②③D．①②③【解析】将n＝1,2,3,4分别代入各式，都有a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，故①②③均可作为数列{an}的通项公式．3.在数列{an}中，其通项an＝3n2－28n，则数列各项中最小的项是()A．4B．5C．6D．7【解析】因为an＝3(n－143)2－1963，而n∈N*，则当n＝5时，an取最小值，故选B.4.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a4＝0.【解析】a1＝0，a2＝a1－33a1＋1＝－31＝－3，a3＝－3－33×－3＋1＝－23－2＝3，a4＝3－33×3＋1＝0.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3＋2n，则数列{an}的通项公式为an＝5n＝12n－1n≥2.【解析】当n＝1时，S1＝a1＝3＋21＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.又a1＝5不适合上式，故an＝5n＝12n－1n≥2.一用观察法写数列的通项公式【例1】根据下列数列的前几项，写出它们的通项公式：(1)1，－1,1，－1，…；(2)2,5,10,17，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，….【解析】(1)an＝(－1)n＋1或an＝cos(n＋1)π.(2)将数列各项分别减去1，则得数列1,4,9,16，…，则an＝n2＋1.(3)an＝(－1)n2n－32n.【点评】已知数列的前n项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(－1)n与(－1)n＋1(或(－1)n－1)来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助等差数列、等比数列(后面将学到)和其他方法来解决．(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．有一数列{an}，a1＝a，由递推公式an＋1＝2an1＋an，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．素材1【分析】可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而做出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．【解析】因为a1＝a，an＋1＝2an1＋an，所以a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝4a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a4＝2a31＋a3＝8a1＋3a1＋4a1＋3a＝8a1＋7a.观察规律：an＝xa1＋ya形式，其中x与n的关系可由n＝1,2,3,4得出x＝2n－1.而y比x小1，所以an＝2n－1a1＋2n－1－1a.【点评】从特殊的事例，通过分析、归纳，总结出一般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．二利用数列前n项和公式求通项【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，分别求其通项公式．(1)Sn＝3n－2；(2)Sn＝18(an＋2)2(an0)．【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2·3n－1.由于a1＝1不适合上式，因此数列{an}的通项公式为an＝1n＝12·3n－1n∈N*，且n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2，所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，又an0，所以an－an－1＝4，可知{an}为等差数列，公差为4，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·4＝4n－2，a1＝2也适合上式，故an＝4n－2.【点评】本例的关键是应用an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的通项公式；同时认清“an＋1－an＝d(常数)(n≥2)”与“an－an－1＝d(d为常数，n≥2)”的细微差别．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n2－2n，则数列{an}的通项公式是an＝6n－5.素材2【解析】当n＝1时，S1＝a1＝3×12－2×1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，又a1＝1适合上式，故an＝6n－5(n∈N*)．三已知数列的前n项和Sn与an的递推关系，求通项公式．【例3】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*)．(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an(n∈N*)，求a的取值范围．【解析】(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此可得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，当a≠3时，{Sn－3n}是以a－3为首项，2为公比的等比数列，因此所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)·2n－1(n∈N*)．当a＝3时，Sn＝3n，bn＝Sn－3n＝0满足上式．综上，所求通项公式为bn＝(a－3)·2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，Sn＝3n＋(a－3)·2n－1(n∈N*)，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)·2n－1－3n－1－(a－3)·2n－2＝2×3n－1＋(a－3)·2n－2，所以an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)·2n－2＝2n－2[12×(32)n－2＋a－3]．因为an＋1≥an，所以12·(32)n－2＋a－3≥0，a≥3－12·(32)n－2，由n≥2知a≥－9.又a2＝a1＋3a1，综上所述，所求a的取值范围是[－9，＋∞)．【点评】转化是数列中最基本，最常用的解题策略，本例中an与Sn之间的转化，an＋1≥an对∀n∈N*恒成立与最值转化充分说明转化是问题探究的有效成功途径．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且Sn＝n＋1an2.求证：数列{an}为等差数列．素材3【分析】要证明数列{an}为等差数列，可先求出{an}的通项公式或an的递推关系式．【解析】由已知，得2Sn＝(n＋1)an,2Sn－1＝nan－1(n≥2)，两式相减得(n－1)an＝nan－1，所以anan－1＝nn－1.于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1(n≥2)，以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N*)．又a1＝1满足an＝n，所以an＝n.因为an－an－1＝1，所以数列{an}为等差数列．备选例题在数列{an}中，其前n项和Sn＝120－10(n＋12)·(1011)n(n∈N*)，试问该数列有没有最大的项？若有，求其项数；若没有，请说明理由．【解析】a1＝S1＝2011，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[120－10(n＋12)(1011)n]－[120－10(n＋11)·(1011)n－1]＝(n＋1)(1011)n，由于a1也适合，因此an＝(n＋1)(1011)n.设{an}中第n项最大，则an≥an＋1an≥an－1，即n＋11011n≥n＋21011n＋1n＋11011n≥n1011n－1.所以9≤n≤10，故该数列第9项或第10项最大．数列通项公式的求法：①观察分析法；S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥２);③转化成等差、等比数列.②公式法:an=