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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2013届高考数学复习课件 5.3 等比数列 理 新人教版
1.定义:如果一个数列从第__项起,每一项与它的______的比都等于____,那么这个数列就叫等比数列.这个常数叫做等比数列的_____,通常用字母q表示.2.通项公式:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=______.3.等比中项:若三个数a、G、b满足___________,则称G为a与b的等比中项.2前一项常数公比a1qn-1ab=G2(G≠0)4.前n项和:等比数列{an}的公比为q(q≠0),前n项和为Sn,Sn5.等比数列的常用性质(1)推广公式:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列且k+l=m+n(k、l、m、n∈N*),则___________.(3)若Sn为等比数列{an}(公比q≠1)的前n项和,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也是_________.ak·al=am·an等比数列1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=()A.64B.81C.128D.243解析:因为{an}是等比数列,所以a2+a3a1+a2=q=63=2,又因为a1+a1q=3,所以a1=1,所以a7=a1q6=26=64.故选A.答案A2.等比数列{an}中,a2·a8=16,则a5=________.解析:因为a2a8=a25=16,所以a5=±4.答案:±43.若-1,a,b,c,-9成等比数列,则b=________.解析:由题意ac=-1×(-9)=9,b2=ac=9,a2=-1×b>0,所以b<0,则b=-3.答案:-34.若等比数列的公比为2,且前4项和为15,则其前8项和为________.解析:因为S4=a1q4-1q-1=a124-12-1=15,故a1=1,所以S8=q8-1q-1=28-1=255.答案:2551.等比数列问题可类比解决等差数列的思想方法处理,注意利用方程(组)思想为其一般方法.2.证明等比数列可用定义法(an=an-1q(q≠0))与等比中项法(a2n+1=an·an+2(n∈N*));注意q≠0.3.求等比数列前n项和Sn时,注意分析q=1的情况.(即时巩固详解为教师用书独有)考点一基本量运算【案例1】已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a4=203,求{an}的通项公式.关键提示:将两个条件转化为与公比q有关的方程.解:设{an}的公比为q,则a2+a4=203,得a3q+a3q=203,即3q2-10q+3=0,解得q=13或q=3.所以当q=3时,an=a3·qn-3=2·3n-3;当q=13时,an=a3·qn-3=2·13n-3.【即时巩固1】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列.(1)求{an}的公比q;(2)若a1-a3=3,求Sn.解:(1)依题意有:a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2).由于a1≠0,故2q2+q=0.又q≠0,从而q=-12.(2)由已知可得a1-a1-122=3,故a1=4.从而Sn=41--12n1--12=831--12n.考点二等比数列的判定与证明【案例2】已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*.(1)证明:数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式以及Sn.关键提示:通过条件转化构造以an+1为整体的数列.(1)证明:由已知Sn+1=2Sn+n+5,n∈N*,可得n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4.两式相减得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1.即an+1=2an+1.从而an+1+1=2(an+1).当n=1时,S2=2S1+1+5,所以a2+a1=2a1+6.又a1=5,所以a2=11,从而a2+1=2(a1+1),故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.又a1=5,a1+1≠0.从而an+1+1an+1=2.即数列{an+1}是首项为6,公比为2的等比数列.(2)解:由(1)得an+1=6·2n-1,所以an=6·2n-1-1.于是Sn=6·1-2n1-2-n=6·2n-n-6.【即时巩固2】已知数列{an}的前n项和记为Sn,且a1=1,an+1=n+2nSn(n∈N*).证明:Snn是等比数列,并求Sn.解:由已知得:Sn+1-Sn=n+2nSn,nSn+1=(2n+2)Sn,即Sn+1n+1=2·Snn,又S11=1,所以Snn构成以1为首项,公比为2的等比数列,所以Snn=2n-1,Sn=n·2n-1.考点三等比数列的性质及应用【案例3】(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=()A.11B.5C.-8D.-11关键提示:求出公比q是本题的实质问题.解析:因为8a2+a5=0,所以a5=-8a2,q3·a2=-8a2,所以q=-2,又S5S2=a11-q51-qa11-q21-q=1-q51-q2=-11.答案D【即时巩固3】(2010·全国Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=________.解析:由已知得a1a2a3=a32=5,a7a8a9=a38=10,a4a5a6=a35=(a2a8)3=[(a2a8)3]12=52.答案:52考点四等差、等比数列的综合应用【案例4】已知等比数列{an}中,a3=4,且a4,a5+4,a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求S2n+17Sn+1的最小值.关键提示:可利用基本不等式求最值.解:(1)由已知得2a5+8=a4+a6,因为2a3q2+8=a3q+a3q3,所以8q2+8=4q+4q3,所以8(q2+1)=4q(1+q2),所以q=2,又a3=4,所以an=a3·qn-3=2n-1.(2)因为Sn=a1-anq1-q=2n-1,所以S2n+17Sn+1=22n+162n=2n+162n≥8,当且仅当2n=162n⇒n=2时,S2n+17Sn+1取最小值8.【即时巩固4】已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an1.(1)解:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得:2(log22+d)=log22+log28,即d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)证明:因为1an+1-an=12n+1-2n=12n,所以1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an=121+122+123+…+12n=121-12n1-12=1-12n1.
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