2016高考第一轮复习6.2等差数列与等比数列

主页一轮复习讲义等差数列与等比数列主页1．等差、等比数列的常用性质(1)若{an}是等差数列，则①m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有.②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成数列．(2)若{an}是等比数列，则①m，n，p，r∈N*，则m＋n＝p＋r，则有.②{an}是等比数列，则{a2n}、1an是数列．③若Sn≠0，且q≠－1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……构成数列．要点梳理忆一忆知识要点am＋an＝ap＋ar等差am·an＝ap·ar等比等比主页2．等差数列与等比数列的联系(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是{an}的公差．(a0且a≠1)．(2)若数列{an}是等比数列，且an0，则数列{logaan}是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a0，a≠1，q是{an}的公比．(3)若{an}既是等差数列又是等比数列，则{an}是非零常数列．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．用函数的观点理解等差数列、等比数列的单调性(1)对于等差数列{an}，∵an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线y＝dx＋(a1－d)上的若干个点．当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列．主页(2)对于等比数列：an＝a1qn－1，可用指数(型)函数的性质来理解．当a10，q1或a10,0q1时，等比数列是递增数列；当a10,0q1或a10，q1时，等比数列是递减数列．当q＝1时，是一个不为0的常数列．当q0时，数列的项正负相间出现，不具备单调性，它是一个摆动数列．2．等比数列{an}的前n项和SnSn，S2n－Sn，S3n－S2n，……不一定构成等比数列，如数列：2，－2，2，－2，…….因为在等比数列中不能有0项，所以要使Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……为等比数列，必须有Sn≠0且q≠－1.主页例1是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：①a＋b＋c＝6.②a、b、c成等差数列．③将a、b、c适当排列后成等比数列．等差、等比数列的基本运算解由②知2b＝a＋c，∴a＋b＋c＝3b＝6，∴b＝2，a＋c＝4.若a、b、c成等比数列，则b2＝ac＝4，∴a＝c＝2，不符合条件．主页若b、a、c(或b、c、a)成等比数列，则a2＝bc＝2c，∴a2＋2a－8＝0，解之得：a＝－4或a＝2.∴a＝－4c＝8或a＝2c＝2(舍去)．∴2，－4,8或8，－4,2成等比．∴存在互不相等的实数，－4,2,8或8,2，－4使它们同时满足三个条件．主页(1)对于等差数列的通项公式及前n项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及变式等角度掌握它们．等差数列的通项公式及前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题目．(2)在已知三个数成等差数列时，要注意“对称设元”、“整体消参”和“设而不求”的方法．探究提高主页有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．变式训练1解∵后三个数成等差数列，可设四个数为x，y－d，y，y＋d.由已知，得xy＝y－d2，x＋y－d＋y＝19，y－d＋y＋y＋d＝12，解得x＝9，y＝4，d＝－2或x＝25，y＝4，d＝14，∴四个数为9,6,4,2或25，－10,4,18.主页例2设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝anan＋m(m∈N*)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．等差、等比数列的判定或探索解当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.主页(1)由bn＝anan＋m(m∈N*)知b1＝11＋m，b2＝33＋m，b8＝1515＋m，∴b1，b2，b8成等比数列，∴33＋m2＝11＋m×1515＋m，解之得：m＝9或m＝0(舍去)．故m＝9.(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4＝b1＋bt，∴77＋m×2＝11＋m＋2t－12t－1＋m，∴t＝7m＋1m－5＝7m－5＋36m－5＝7＋36m－5，主页由于m、t∈N*且t≥5.令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1，即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数．∴存在符合题意的m值，且共有8个数．要判断一个数列是等差数列或等比数列可用定义法或中项法，而要说明一个数列不是等差数列或等比数列，只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可．探究提高主页已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N*)．(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；(3)当{bn}是公比为a－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．变式训练2解(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＝a，∴an＝1＋(n－1)(a－1)．又∵b3＝12，∴a3a4＝12，即(2a－1)(3a－2)＝12，解得a＝2或a＝－56.∵a0，∴a＝2.∴an＝n.主页(2)∵数列{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a(a0)，∴an＝an－1，∴bn＝anan＋1＝a2n－1.∵bn＋1bn＝a2，∴数列{bn}是首项为a，公比为a2的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝aa2n－1a2－1＝a2n＋1－aa2－1.(3)数列{an}不能为等比数列．∵bn＝anan＋1，∴bn＋1bn＝an＋1an＋2anan＋1＝an＋2an，主页则an＋2an＝a－1.∴a3＝a－1.假设数列{an}能为等比数列．由a1＝1，a2＝a，得a3＝a2.∵a2＝a－1，∴此方程无解．∴数列{an}一定不能为等比数列．主页例3(2010·上海)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.(1)证明：an－1是等比数列；(2)求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)等差、等比数列中的最值与范围(1)证明∵Sn＝n－5an－85，∴当n＝1时，S1＝1－5a1－85，即a1＝1－5a1－85，解得a1＝－14；主页当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－5an－85)－[(n－1)－5an－1－85]＝－5an＋5an－1＋1，整理得6an＝5an－1＋1，∴6(an－1)＝5(an－1－1)，∴an－1an－1－1＝56.又a1－1＝－15，∴数列an－1是以－15为首项，56为公比的等比数列．(2)解由(1)知，an－1＝－15×(56)n－1，∴an＝－15×(56)n－1＋1，代入Sn＝n－5an－85得，主页Sn＝n－5－15×56n－1＋1－85＝n＋75×(56)n－1－90.设Sk为最小值，则Sk－1≥Sk，Sk＋1≥Sk，∴ak≤0，ak＋1≥0，即－15×56k－1＋1≤0，－15×56k＋1≥0，即56k－1≥115，56k≤115，∴,151log,151log16565kk.1151log151log6565k即主页又＝lg115lg56＝－lg3－lg2＋11－2lg2－lg3，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，∴≈14.9.∴14.9≤k≤15.9.又∵k∈N*，∴k＝15.即当n＝15时，Sn取得最小值．151log65151log65主页解决数列中的最值范围问题有两种方法：(1)用函数思想处理，先求出相应函数的解析式，研究函数的单调性，也可借助函数图象．(2)利用不等式知识处理，如求最大(小)值，可先设出最大(小)项，再利用它大(小)于它的前一项、后一项构造不等式组进而求解．数列中的范围问题常利用基本不等式或解不等式的方法来解决．探究提高主页已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝14且Sn＝Sn－1＋an－1＋12，数列{bn}满足b1＝－1194且3bn－bn－1＝n(n≥2且n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn－an}为等比数列；(3)求{bn}前n项和的最小值．变式训练3(1)解由2Sn＝2Sn－1＋2an－1＋1得2an＝2an－1＋1，an－an－1＝12，∴an＝a1＋(n－1)d＝12n－14.主页(2)证明由3bn－bn－1＝n，得bn＝13bn－1＋13n，所以bn－an＝13bn－1＋13n－12n＋14＝13bn－1－16n＋14＝13bn－1－12n＋34；bn－1－an－1＝bn－1－12(n－1)＋14＝bn－1－12n＋34.由上面两式得bn－anbn－1－an－1＝13，又b1－a1＝－1194－14＝－30，故数列{bn－an}是以－30为首项，13为公比的等比数列．主页(3)解由(2)得bn－an＝－30×13n－1，∴bn＝an－30×13n－1＝12n－14－30×13n－1(n≥2)．bn－bn－1＝12n－14－30×13n－1－12(n－1)＋14＋30×13n－2＝12＋30×13n－21－13＝12＋20×13n－20，∴{bn}是递增数列．主页当n＝1时，b1＝－11940；当n＝2时，b2＝34－100；当n＝3时，b3＝54－1030；当n＝4时，b4＝74－1090，所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．且S3＝14(1＋3＋5)－30－10－103＝－49312.主页已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.公式应用、答题格式要规范答题规范(1)直接套用等差数列的通项公式和前n项和公式计算；(2)直接套用等比数列的通项公式求出{bn－an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式及前n项和．审题视角主页规范解答解(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；[3分]Sn＝19n＋nn－12×(－2)＝－n2＋20n，即Sn＝－n2＋20n.[6分](2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以bn－an＝3n－1，即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21，[9分]主页Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(30＋a1)＋(3＋a2)＋…＋(3n－1＋an)＝(30＋3＋…＋3n－1)＋(a1＋a2＋…＋an)＝1×1－3n1－3－n2＋20n＝3n－12－n2＋20n.[14分]主页批阅笔记(1)解答本题时，要注意公式应用、答题格式的规范性，否则易出现错误．(2)在解答本题时有两点容易造成失分：一是公式不熟悉导致错误；二是计算错误．除此以外，解答可转化为等差、等比数列问题时，以下易造成失分：①裂项求和时不能正确裂项进而转化为等差、等比数列致错．②错位相减时不清楚对