研究生讲座-从蝴蝶效应谈起

从蝴蝶效应谈起姚治海2015年9月蝴蝶效应（TheButterflyEffect）：爱德华洛伦兹(EdwardN.Lorenz）(1917年5月23日－2008年4月16日)美国数学与气象学家混沌之父•在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。•1963年，E.N.Lorenz:“一个气象学家提及，如果这个理论被证明正确，一个海鸥扇动翅膀足以永远改变天气变化。”•1979年，E.N.Lorenz:“一只蝴蝶在巴西搧动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”洛伦兹混沌吸收子今天我们一起来讨论：•混沌学•线性与非线性•确定性与随机性•非线性科学混沌学•混沌，chaos，有学者把它和相对论，量子论一起并称为人类20世纪对科学的三大贡献相对论否定了时间、空间的绝对性-解决了高速运动问题量子论否定了波与粒子的绝对性-解决了微观运动问题混沌论否定了可预见的绝对性-解决了非线性运动的问题•混沌---非线性科学•宏观世界现象，微观世界现象混沌学──气似质具而未相离谓之混沌。《易乾凿度》——南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。《应帝王》——起初，神创造诸天和大地，地是空虚混沌。《旧约·创世纪》混沌学亨利·庞加莱(JulesHenriPoincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。庞加莱通过研究所谓的渐进解（asymptoticsolutions），同宿轨道(homoclinicorbits)和异宿轨道（hetroclinicorbits），发现即使在简单的三体问题中，在这样的同宿轨道或者异宿轨道附近，方程的解的状况会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。轨道的长时间行为的不可预见性---混沌混沌学•洛伦兹方程组：dxxydtdyrxyxzdtdzbzxydt1963，DeterministicNonperiodicFlow初值的敏感性混沌学米切尔·杰·费根鲍姆（MitchellJayFeigenbaum，1944年12月19日生），美国数学物理学家混沌学混沌学华人数学家李天岩美国数学家JamesYorkePeriodThreeImpliesChaoschaos混沌学•混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性---不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。混沌学例一：计算器混沌x²0.54321迭代0cos0.5432140次0.739085133收敛ex溢出1/x0.54321---1.840908673周期2x2-1周期振荡2x2-1混沌混沌学X2-1,X=0.54321迭代次数200混沌学迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果迭代次数迭代结果00.5432111-0.620283230.3829371-0.40984612-0.230499240.399622-0.66405313-0.89374125-0.001095833-0.118068140.59754526-0.9999984-0.9721215-0.285879270.9999950.89003516-0.836547280.99996260.584324170.39962290.9998467-0.3171318-0.680607300.9993858-0.79885719-0.0735475310.99754290.27634420-0.989182320.99017910-0.847268210.95696330.960908110.435728220.831546340.84669混沌学2X2-1,X=0.54321迭代次数400混沌学Kx2-1k=1.416周期k=1.5混沌k=1.740.744-0.030-0.998周期3混沌学例二：半导体激光器混沌混沌学例三：缭绕的香烟混沌学例四：动荡的股市线性与非线性«圣经»里并没有说自然定律要表示成线性。----N.Fermi线性与非线性线性世界•Newton方程•Maxwell方程•Schrödinger方程•Hooke定律•Fourier定律线性与非线性线性世界的辉煌天体运行航空航天计算机探空技术微电子通讯技术线性与非线性什么是线性？狭义上，线性就代表一条直线。Y=kx+b线性与非线性例：Hooke定律线性与非线性注意：数学上通过变换，可以把某种原来不是线性关系变换成另一表象空间面成为线性关系。原空间y=aPx变换z=lny变换空间z=Plna+(lna)x变换后成z-x的线性关系线性与非线性线性现象的三个重要特性：线性现象的可迭加性线性现象的可数乘性（奇性）线性演化方程在有限时间内一般不会出现奇异性,即线性有它特有的简单性线性与非线性非线性现象的三个重要特性：非线性各个部分的不可叠加性非线性常常表现出复杂性非线性演化方程会出现奇异性和突变性线性与非线性非线性世界的线性近似线性与非线性两种思维：线性思维认为事物的发展（斜率）是一成不变的，好的永远是好，坏的越来越坏（负斜率），并且在哲学上造成恶无限。非线性思维则认为事物的发展是不平坦的、起伏的、弯曲的、非线性的。判断任何思维的正确与否，决不允许掺杂人类的任何情感，而只能以外部客观世界作为检验标准。线性与非线性线性思维是形而上学且不符合外部世界秩序的，恰恰非线性思维是与客观相合的，问题是什么地方、什么时候弯曲、以何种方式弯曲？因此，对它的研究绝不是一劳永逸的。线性与非线性“在自然科学中，从激光物理学、量子混饨和气象学直到化学中的分子建模和生物学中对细胞生长的计算机辅助模拟，非线性复杂系统已经成为一种成功的求解方式。另一方面，社会科学也认识到，人类面临的主要问题也是全球性的、复杂的和非线性的。生态、经济或政治系统中的局部性变化，都可能引起一场全球性危机。线性的思维方式以及把整体仅仅看做其部分之和的观点，显然已经过时了。”克劳斯·迈因策尔《复杂性中的思维》线性与非线性为什么世界呈现非线性？(1)世界的事物中，绝大多数都存在两个甚至多个效果相反的制约因素。(2)线性表示组成的部分互不相干地起作用，而非线性则正好表示各个部分之间的相互作用。(3)平衡。任何事物在复杂世界中如果不处于平衡状态，或者准平衡状态是不能持久的。平衡也是非线性内因的反映。线性与非线性混沌：非线性世界的科学线性与非线性非线性科学：混沌chaos分形fractal孤立子soliton确定性与随机性“自然系统的当前状态很明显是其在前一瞬间的状态的结果，如果我们想象某一位天才在一给定时刻洞悉了宇宙所有事物间的全部关系，那么它就能够说出过去或未来任一时刻所有这些事物的相对位置、运动及总作用。”P.S.Laplace确定性与随机性拉普拉斯决定论确定性可预言性机械性因果等当性确定性与随机性经典牛顿力学长期统治人们对客观世界的认识，而且，这样的认识论所产生的科学研究结果无一例外地都得到了重现性（recurrere）证实，因此人们对它的相信也达到了前所未有的程度。问题：牛顿为什么信上帝？确定性与随机性牛顿力学在20世纪被量子力学和相对论所取代。然而牛顿定律的基本特性—确定性和时间对称性—却幸存下来。量子力学的基本方程式薛定谔方程同样是确定性的和时间可逆的。依靠此种方程，自然法则导致了确定性。确定性与随机性决定论认为因果规律决定了个别事件的必然性和可预见性，因而完全排除了随机性和偶然性的存在。在量子力学和自组织的决定论中，偶然性已经纳入规律之中，成为规律不可缺少的组成部分。规律只是个别粒子运动的几率，几率是一种可能性的总和、可能性空间，个别粒子只能在这个几率的范围内运动。概率不再是现实性，而是可能性的总和。确定性与随机性概率部分地与这种无知有关，部分地与我们的知识有关。---拉普拉斯确定性与随机性•非线性对严格决定论的否定混沌内在随机性表明，确定性系统也是不确定的。随机性普遍存在，甚至起支配作用。“蝴蝶效应”是一种非线性因果关系，标志着确定系统的长期可观测性失效。确定性与随机性•非线性不是对非决定论的肯定爱因斯坦有句明言：“上帝不会掷骰子”。非线性的一个重要原则是不确定性，但不确定性不等于非决定论。确定性与随机性•非线性不是对非决定论的肯定波普尔说：“如果决定论是真的，那么世界就是一个完美无瑕的运行的钟，包括所有的云，所有的有机体，所有的动物，以及整个人类。另一方面，如果皮尔斯、海森堡的或其他形式的非决定论是真的，那么纯粹的机遇就在我们的物理世界中起到一种主要的作用。但机遇真的会比决定论更令人满意吗？确定性与随机性混沌确定性与随机性的统一非线性科学混沌chaos分形fractals孤立子soliton非线性科学混沌混沌可以理解为貌似随机的确定性。非线性科学混沌混沌可以理解为貌似随机的确定性。如果一个接近实际而没有系统内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为,就可以称这个真实的物理系统是混沌的非线性科学混沌一维逻辑斯蒂映射•映射(mapping)也叫迭代(iteration)•xn+1=2xn，若x1=3,则x2=6，x3=12……。•从控制系统的角度看，这也叫反馈(feedback)，把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种：–发散的、收敛的、周期的等等。•但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程?非线性科学混沌•逻辑斯蒂映射的形式为•其中a是参数，取值范围是［-2,4］，通常人们只注意［0,4］这一半，其实另一半［-2,0］也一样有趣。x的取值为［0,1］。映射的不动点是指满足关系ξ=aξ(1-ξ)的相点ξ,解得ξ_1=0,ξ_2=1-1/a。设映射用f表示，f的2次迭代记作f2，3次迭代记作f3，等等。注意，这种记法不表示乘方关系。f的不动点也叫f的周期1点。f2的不动点实际上是f的周期2点。同理fn的不动点与f的周期n点是一回事。1(1)nnnxaxx非线性科学混沌•映射f的周期m点的稳定性由乘子•完全决定。映射f的周期点(包括不动点，它为周期1点)的稳定性可具体定义为：•｜λ｜＜1，吸引，稳定；｜λ｜＞1，排斥，不稳定；｜λ｜=1，中性；λ=0，超稳定。miimmxfxfxfxfdxdf1''2'1')()()...()(非线性科学混沌以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stablesteadystates)为纵坐标作图，得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此所谓无穷自相似结构。非线性科学混沌非线性科学混沌非线性科学混沌非线性科学分形•欧几里得几何学的研究对象是具有特征长度的几何物体：–一维空间：线段，有长度，没有宽度；–二维空间：平行四边形，有周长、面积；–三维空间：球，表面积、体积；•自然界中很多的物体具有特征长度，诸如：人有高度、山有海拔高度等。非线性科学分形•自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆形和其它图形。--伽利略•浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，输电永远不沿直线行进。--曼德布罗特非线性科学分形不同记录间隔时间，具有相同的复杂性。自相似性非线性科学分形沿海岸边时看到的厘米级的海岸线，从卫星上观察到的数千米跨度，海岸线的复杂程度是相同的尺度不变性非线性科学分形伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitB.Mandelbrot）世界“分形几何之父”，出生于波兰，童年时随家人移居法国，后来在美国担任耶鲁大学名誉教授。曼德尔布罗于1973年在法兰西商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，1977年出版了第一本著作《分形对象：形、机遇与维数》，1982年出版了第二本著作《大自然的分形几何》，在数学界乃至流行文化领域掀起一股“分形热”。曼德尔