2.-导数中切线问题的处理

2014级高三文科培优讲义第1页2014级高三文科培优讲义２.导数中切线问题的处理一、三次函数切线问题321].31xx[例求曲线y=在点（１，－１）处的切线方程。　　[y=-3x+2]32].xx[例求过曲线y=２上的点（１，－１）处的切线方程.　　[5x+4y-1=0或x-y-2=0]3[3]().().fxxxabfa例已知函数(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(2)设a0,如果过点（a,b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：2014级高三文科培优讲义第2页[例4][2014·北京卷]已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)[例5]已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋bx.(1)若函数f(x)在区间[－1，1)，(1，3]内各有一个极值点，当a2－b取最大值时，求函数f(x)的解析式．[f(x)＝13x3－x2－3x](2)若a＝－1，在曲线y＝f(x)上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．[存在P(1，f(1))]二、函数公切线及两条以上切线问题221212].2)xx[例6已知曲线Ｃ:y=与Ｃ:y=-(,直线l是C和C的公切线，求公切线l的方程.　　[y=4x-4或y=0]2014级高三文科培优讲义第3页2212121212].14(2)xxx[例7已知抛物线Ｃ:y=+2与Ｃ:y=-+a,C和C的公切线l在两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a取何值时，Ｃ和Ｃ有且仅有一条公切线？求公切线l的方程.[y=x-]若Ｃ和Ｃ有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.[例8]已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，x0，lnx，x0，其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x20，证明：211xx；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．[(ln21,)]三、微分中值定理[例9]已知函数lnxfxa，曲线yfx在1,1f处的切线方程为10xy．（1）求实数a的值；1a（2）设hxfxex（e为自然对数的底数），hx表示hx的导函数，求证：对于hx的图象上不同两点11,xy，22,xy，12xx，存在唯一的012,xxx，使直线的斜率等于0hx．2014级高三文科培优讲义第4页[例10]已知函数22()alnx()afxxaRx.（I）讨论()fx的单调性；（II）若对任意,(0,)mne且mn，有()()1fmfnmn恒成立，求实数a的取值范围.,0,2e[例11]已知函数()ln,fxxmxmmR．（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若()0fx在(0,)x上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0ab，求证：()()1(1)fbfabaaa．m=1