第1,2章 线性空间与线性变换

第1章：线性空间与线性变换内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。1.1线性空间(LinearSpaces)一、线性空间的概念线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）ExampleR3={x=（x1，x2，x3）T：xiR}={空间中所有向量}定义向量的加法，数与向量的乘积。运算封闭八条运算律成立1.1线性空间(LinearSpaces)一、线性空间的概念线性空间=集合+两种运算（所成完美集合）Definition:(线性空间或向量空间)要点：•集合V与数域F•向量的加法和数乘向量运算（运算之后的结果跑不出去）•八条运算律（能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）常见的线性空间Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：xF}运算：向量加法和数乘向量Fmn={A=[aij]mn：aijF}；运算：矩阵的加法和数乘矩阵Rmn；Cmn。F[t]n={f(x)=a0+a1x+a2x2+...+an-1xn-1：aiR}运算：多项式的加法和数乘•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}运算：函数的加法和数乘•Example：V=R+，F=R，ab=ab，a=aF=R或C不是线性空间的集合V={X=（x1，x2，1）T：xiR}运算：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。线性空间的一般性的观点：线性空间的简单性质（共性）：（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0或k=0（4）=（1）数0向量0二、向量组的探讨（Review)向量的线性相关与线性无关：向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人合力完成）向量组1，2，…，s线性无关任何一个向量不能由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss=0,只有系数都为0向量组1，2，…，s线性相关其中一个向量可以由其余向量线性表示要使k11+k22+…+kss=0,必须有非零系数二、向量组的探讨（Review)向量组的极大线性无关组：1，2，…，s为向量组A的一个部分组（精英组合）满足向量组1，2，…，s线性无关（彼此工作不可替代）任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示（公司的任何人的工作可由精英组合完成）向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数三、线性空间的基和维数抽象的线性空间的元素称之为向量(vector)所有的线性空间中的向量的线性相关性定义和Rn一样：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组----即为基(basis)三、线性空间的基和维数基(basis)：线性空间的极大无关组；维数(dimension)：基中向量的个数；常见线性空间的基与维数：Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dimFn=nRmn，自然基{Eij}，dimRmn=mn。F[t]3，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3=3C[a，b]，{1，x，x2，x3…xn-1…}C[a,b]，dimC[a，b]=约定：本书主要研究有限维线性空间。四、坐标坐标的来历：设{1，2，…，n}是空间V的一组基，V,可以由基1，2，…，n唯一线性表示=x11+x22+…+xnn则x1，x2，…，xn是在基{i}下的坐标。例1：求R22中向量在基{Eij}下的坐标。5413要点：坐标与基有关坐标的表达形式例2设空间F[x]4的两组基为：{1，x，x2，x3}和{1，（x-1）1，（x-1）2，（x-1）3}求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标。归纳：有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和一个实际的元素对应起来，从而将抽象具体化进行研究。nR*例3设R22中向量组{Ai}3120A22111A11013A37342A41讨论{Ai}的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合.五、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系1基变换公式设空间中有两组基：},...,,{n21nnnnC),...,,(),...,,(2121过渡矩阵C的性质：C为可逆矩阵C的第i列是i在基{i}下的坐标则过渡矩阵},...,,{21n2坐标变换公式已知空间中两组基：满足::;讨论X和Y的关系},...,,{n21X)...(n21Y)...(n21X=CY},...,,{21nnnnnC),...,,(),...,,(2121例已知空间R中两组基（I）{Eij}（II）；{}1.求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。2.求向量在基（II）的坐标Y。00120110130030002137§1.2子空间概述：线性空间V中，向量集合V可以有集合的运算和关系：WiV，W1W2，W1W2，问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间？1、子空间的概念定义：设非空集合WV，W，如果W中的元素关于V中的线性运算为线性空间，则称W是V的子空间。判别方法：ImportantTheoremW是子空间W对V的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法子空间和非子空间的例子：V={x=(x1，x2，0｝R3，是子空间V={x=(x1，x2，1｝R3，不是子空间矩阵ARm×n，•齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间S=｛X：AX=0｝Rn，•非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝重要的子空间：生成子空间设向量组｛1，2，···，m｝V，由它们的一切线性组合生成的子空间：Span{1，2，···，m}=L(1，2，···，m)=｛k11+k22+···+kmm|ki}生成子空间的重要的性质：1）如果1，2，···，m线性无关，则其为生成子空间Span{1，2，···，m}的一组基；2）如果1，2，···，r是向量组1，2，···，m的最大线性无关组，则Span{1，2，···，m}1，2，···，r是Span{1，2，···，m}的一组基题型举例.3.2..1}|{20312222中矩阵的一般形式求的基与维数；求的子空间；是证明：令，已知WWRWPAAPRAWP2、子空间的“交空间”与“和空间”讨论：设W1V，W2V，且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？1.（1）交空间交集：W1W2=｛W1而且W2｝Vn（F）W1W2是子空间，被称为“交空间”（2）和空间和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝，W1W2W1＋W2W1＋W2是子空间，被称为“和空间”，W1W2不一定是子空间，W1W2W1＋W2例设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2}求和空间W1＋W2。比较：集合W1W2和集合W1＋W2。如果W1=Span{1，2，…，m}，W2=Span{1，2，…，k}，则W1＋W2=Span{1，2，…，m，1，2，…，k}例.,,)3,2,0,1(,)1,0,1,1(},,{span},02|),,,{(212121212421432114VVVVVxxxxxxxVRTTT求其中的两个子空间设3、维数公式子空间的包含关系：V212121dimW1W2dimWidim（W1＋W2）dimV。•维数定理：dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1W2）证明：……4、子空间的直和分析：如果dim（W1W2）0，则dim（W1＋W2）dimW1＋dimW2所以：dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2dim（W1W2）=0W1W2={0}直和的定义：若dim（W1W2）=0，则和为直和W=W1＋W2=W1W2，子空间的“和”为“直和”的充要–条件：Theorem设W=W1＋W2，则下列各条等价：（1）W=W1W2（2）XW，X=X1＋X2的表是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1＋dimW2例设在Rn×n中，子空间W1={AAT=A}，W2={BBT=–B}，证明Rn×n=W1W2。§1.3线性空间V与Fn的同构坐标关系VFnV的基{1，2，。。。n}由此建立一个一一对应关系V，XFn，（）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系下，线性空间V和Fn同构。同构的性质定理1.3:V中向量{1，2，…n}线性相关它们的坐标{X1,X2,…,Xn}在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。§1·4线性变换(LinearTransformations)一、线性变换的概念1.线性变换的来历；Definition：（i）T是V上的映射：T：VV。(ii)T具有线性性：T（＋）=T（）＋T（）(保持加法的三角形法则)T（k）=kT（）(保持比例关系)2线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T(－)=－T()（iii）T(k11+k22+···+kmm)=k1T(1)+k2T(2)+...+kmT(m)3线性变换的象空间和零空间设线性变换T：VV，象空间Im(T)=｛：V，=T()｝零空间Ker(T)=｛：V，T()=0｝定义：T的秩=dimR（T）；T的零度=dimN（T）线性变换保持线性相关性不变！例(P018)Rn中的变换T：设ARn×n是一个给定的矩阵，XRn，T(X)=AX。(1)T是线性变换；(2)Ker(T)是AX=0的解空间；(3)Im(T)=Span{a1，a2，…，an},其中ai是矩阵A的列向量；(4)dimKer(T)+dimIm(T)=n4线性变换的运算设T1，T2都是空间V中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：（i）T1＋T2V，（T1＋T2）（）=T1（）＋T2（）（ii）T1T2V，(T1T2)（）=T1（T2（））（iii）kTV，（kT）（）=k（T（））（iv）若T－1是可逆变换，T－1T－1()=当且仅当T()=。定义二、线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式Purpose:将抽象的线性变换与矩阵对应起来ATaaaTaaaTaaaTVVTnnnnnnnnnnnnn),...,,(),...,,(............,...,,21212211222211221221111121记为的一组基。是上的线性变换，是线性空间设T的矩阵二、线性变换的矩阵总结：V上线性变换的特点分析：定义变换T确定基中向量的象T（i）。定义T（i）确定它在基下{i}的坐标Ai。定义变换T确定矩阵A=[A1，A2，…，An]2线性变换运算的矩阵对应：•设V上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1＋T2）