正项级数敛散性的判别方法

1引言初等数学中，我们研究有限个实数相加，其结果是一个实数，如果延伸至无限个实数相加（无穷级数），其和是否存在？由于在实际应用中，往往是在给定的误差范围内，用部分和代替级数的和，因此判断级数的敛散性是要着力解决的问题.但用级数收敛、发散的定义来判别级数敛散性是十分困难的，因此有必要寻找判别级数敛散性的简单有效的方法.本文讨论正项级数的敛散性问题，并在教材的基础上加以进一步的研究.判断正项级数的敛散性的主要方法有：定义法、比较判别法、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法以及积分判别法六种方法.本文给出了这六种方法的证明.定义法是正项级数敛散性的基本判别法则；比较判别法常用几何级数、调和级数、P—级数作为与其它级数相比较的标准；比式判别法与根式判别法都是基于把正项级数与等比级数比较而得到的；拉贝判别法补充了比式与根式判别法的不足，但仍有其局限性；积分判别法有两种证明方法，一种放入无穷级数里处理，另一种放入定积分中处理，同时给出这种判别法的一个推广.另外，我们采用四种不同的方法讨论了P—级数的敛散性：一是利用P—级数的部分和是否有界来判别的，此法较为简单、直观；二是利用比较判别法来判别的，需要参照物作为比较，从而根据参照物的敛散性来判定P—级数的敛散性；三是利用积分判别法来判别的，需要微积分作为工具；四是利用积分判别法的推广来判别的，该推广比积分判别法有着更广泛的应用.2正项级数敛散性的判别法设0(1,2,3,)nun，则称级数1nnu为正项级数.正项级数的特点是部分和数列nS单调递增，而单调递增数列收敛的充分必要条件是该数列有上界，这一点正是正项级数收敛判别法的基础.其常用的性质是：（1）若级数1nnu收敛于s，常数0a，则级数1nnau收敛于as.（2）如果级数1nnu发散，常数0a，则级数1nnau发散.（3）添加或去掉有限项不改变级数的敛散性.（4）级数收敛的必要条件：0()nun.下面着重讨论正项级数敛散性的判别法.一定义法定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.证明如果正项级数1nnu的部分和数列nS有界，即存在正数M，使nSMn，又nS单调增加，由单调有界数列必有极限的准则知，nS必有极限：limnnSs，从而级数1nnu收敛且其和为s.反之，如果正项级数1nnu收敛于和s，即有limnnSs，由收敛数列必有界的性质知，级数的部分和数列有界.例1.1P级数1111123PPppnpnn的部分和为3111111,23nppppkSkk就1ppp和三种情况分别加以讨论.命题1当p时，nS有界.证明由实数的性质，当p时，一定存在两个正整数m、h，且hm使得：1hpm，于是对于正整数2n，有11111111111111123211211111211(1)()[(1)][(1)](1)(1)()()[(1)]()[(1)][(1)]()11()[](1)()1[(mmmmmmhhhpmmmmmmmmmmmmmmmmhmmmhmmmnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmnnnnmn111](21).1)mmhmn因此，对任何正整数n，有11123nPPpSn11111111111111[][][]1223(1)11[1]1mmmmmmmmmmnnmmn即nS有界.命题2当01p时，nS无界.证明由实数的性质，当01p时，一定存在两个正整数m、h，且hm，使得01hpm，于是对于正整数n，有411111111111232111(1)[(1)]()[(1)][(1)][(1)][(1)]()()mmmmmmhhhpmmmmmmmmmmmmmhmnnnnnnnnnnnnnnnnn11111()[(1)][(1)](1).mmmmhmmmmnnnnmnnhm因此，对于任何正整数n，有11123nPPpSn11111111[21][32][(1)][(1)1].mmmmmmmmmmnnmn这样，当n时，nS，即nS无界.命题3当1p时，nS无界.（此时P级数为调和级数）.证明对于任意正整数m、n，有1111112111111111111(1)[(1)][(1)(1))][(1)]1[(1)1]mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmnnnnnnnnnnnnnnnnnnmnnnmn由于上式对任意大的正整数m都成立，所以111(1)111lim[(1)1]lim1mmmmnmnnm5122111(1)ln(1)()lim11ln(1)ln(1)ln.mmnnmmnnn于是，对任何正整数n，有111123(ln2ln1)(ln3ln2)[ln(1)ln]ln(1).nSnnnn这样，当n时，nS，即nS无界.有了以上三个结论，再由正项级数收敛与发散的充要条件，立即得到：当01p时，P级数发散；当1p时，P级数收敛.二比较判别法定理2设1nnu和1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切nN都有：nnuv，那么（1）若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；（2）若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散.证明（1）由于级数前加上或去掉有限项不改变其敛散性，因此不妨设对一切自然数n都有nnuv成立。令1nniiSu，'1nniiSv，则有'nnSS.若1nnv收敛，其和为，则'nnSS。即nS有界，由定理1，1nnu收敛。（1）成立；（2）为（1）的逆否命题，自然成立.6推论2.1设1nnu和1nnv是两个正项级数，（1）若存在一个与k无关的正常数1c，使当1kN（1N固定），有1kkucv，则从级数1nnv收敛可以断定1nnu收敛.（2）若当2kN（2N固定）时，都有2kkucv，20c，是一个与k无关的常数，则从级数1nnv发散，可以断定级数1nnu发散.（3）若3N，使当3nN时，有11nnnnuvuv，则（ⅰ）由1nnv收敛1nnu收敛；（ⅱ）由1nnu发散1nnv发散.证明（1）由1nnv收敛，可知11nncv（1c为正常数）也收敛.当1kN（1N固定）时，有1kkucv，由比较判别法知1nnu也收敛.（2）由级数1nnv发散，可知21nncv（2c为正常数）也发散，当2kN（2N固定）时，2kkucv，由比较判别法知1nnu也发散.（3）当3nN时，11nnnnuvuv，从而对3nN，有3311110NnnnnNuuuvvv,故331111NnnNuuvv（3nN）.7由于3311NNuv是常数，故当1nnv收敛时1nnu收敛，当1nnu发散时1nnv也发散.推论2.2（比较判别法的极限形式）设1nnu和1nnv是两个正项级数，若limnnnulv，则（1）当0l时，级数1nnv和1nnu同时收敛或发散；（2）当0l且级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛；（3）当l且级数1nnv发散时，级数1nnu也发散.证明（1）当0l时，由limnnnulv，对02l，存在某正数1N，当1nN时，恒有2nnullv或322nnnllvuv，由推论2.1中（1）（2）可知，当0l时，级数1nnv和1nnu同时收敛或发散。（1）得证.（2）当0l时，由lim0nnnuv可知1N，当1nN时,有1nnuv，即nnuv.于是若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛.（3）若l，由limnnnulv可知对给定的正数1M，存在相应的正整数2N，当2nN时，有1nnuv或nnuv，于是由比较判别法知，若级数1nnv8发散，则级数1nnu也发散.例2.1讨论P级数11123PPppn的敛散性.解设1p，这时级数的各项不小于调和级数的对应项：11pnn，但调和级数发散，因此，根据定理2知，当1p时，P级数发散.设p，因为当1nxn时，有11ppnx，所以1111111111[](2,3,).1(1)nnpppnnppdxdxnnxnpnn考虑级数11211[](1)ppnnn，其部分和11111111111(1)()[]223(1)11.(1)nppppppSnnn因11limlim(1)1(1)npnnSn,故级数11211[](1)ppnnn收敛，从而，由定理2知P级数:当p时收敛.综合上述结果，我们得到：P级数:当p时收敛；当1p时发散.例2.2判断3521234345(1)(2)(3)nnnn的敛散性.解设21(1)(2)(3)nnunnn,则32212lim[]lim2(1)(2)(3)nnnnnunnnn.9由推论2.2知级数121(1)(2)(3)nnnnn与211nn具有相同的敛散性，因为211nn收敛，所以121(1)(2)(3)nnnnn收敛.三比式判别法定理3设1nnu为正项级数，且存在某自然数0N及常数(01)qq，（1）若对一切0nN，不等式1nnuqu成立，则级数1nnu收敛；（2）若对一切0nN，不等式11nnuu成立，则级数1nnu发散.证明（1）由已知，当0nN时，001211nNnnnNuquququ，而00Nu，由于当01q时，几何级数001nNnNq收敛，根据定理2可推得级数1nnu收敛.（2）由已知，当0nN时，01nnNuuu。于是当n时，nu的极限不可能为零，所以级数1nnu发散.推论3.1（比式判别法的极限形式）若1nnu为正项级数，且1limnnnuqu，则（1）当1q时，级数1nnu收敛；（2）当1q或q时，级数1nnu发散；（3）当1q时，级数可能收敛也可能发散.10证明由1limnnnuqu，对适当小的0，(0)NN，当nN时，有1nnuqqu.（1）当1q时，取使1q，于是由1nnuqu及定理3的(1)，推得级数1nnu收敛.（2）若1q，则取使1q，由1nnuqu及定理3的（2）推得级数1nnu发散。若q，则(0)NN，当nN时，有11nnuu，此时级数1nnu也是发散的.（3）例如级数211nn和11n