流体力学

流体微元的运动分析——亥姆霍兹（Helmholtz）速度分解定理流体微元的运动分析1.考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。2.谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微元。3.给出在同一时刻流体微元中任意两点速度之间的关系。4.分析流体微元的运动形式。流体微元的运动分析在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的“点”，流体微元则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。三元流动的连续方程式提供了使流体呈现连续状态时质点速度各分量之间所必须保持的关系，但并没有说明在这种关系支配之下的质点速度究竟可能包含一些什么样的运动成分本节课我们将进一步分析质点运动的组成部分，一方面便于对流体运动进行分类研究，一方面也为流体内的应力分析奠定了基础。一、流体微元的速度分解公式kvjvivvzyx图1CAzxyO•在流场中取流体微元如图1所示，设微元质量中心A（x，y，z）点在瞬间的速度为与A相距极近的C（x+dx，y+dy，z+dz）点在同一瞬时的速度可用略去二阶以上无穷小量的泰勒公式表示，为：dzzvdyyvdxxvvvdzzvdyyvdxxvvvdzzvdyyvdxxvvvzzzzzyyyyyxxxxx'''dzxvdyxvzy2121dyyvxvdzxvzvdzxvzvdyxvyvdxxvvvxyzxzxyxxxx21212121'}（1）在第一式中人为的增加四项，并将式中的最末两项也改写成带1/2系数的四项，于是第一式变为•按类似的方法将也可写成类似的形式。及''zyvvdxdydydxdzvvdzdxdxdzdyvvdydzdzdydxvvyxzyzxzzzzxzyxyzyyyyzyxzxyxxxx'''用下表1中的符号，则可简化为}（2）此式即是流体微元的速度分解公式，也就是亥姆霍兹速度分解定理。流体微元中任意两点之间速度关系的一般形式•表1流体微元速度分解公式中的符号zvyvxvzzzyyyxxxzvxvyvzvxvyvxzxzzxzyzyyzyxyxxy212121yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121二、流体微元运动的三种形式•流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微元在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微元的运动可以分解为平移、线变形、角变形和旋转。线变形旋转角变形平移•从形式上看，速度分解定理把比较简单的（1）式变为（2）式，结果反而更复杂了，但这并不是没有原因的。这样分解以后，我们需要考察公式（2）中各种符号的物理意义，然后才有可能深入理解亥姆霍兹定理的内容和价值。•为了说明（2）式中各项符号的含义，无需引用空间流动的复杂情况，为简化讨论，可以首先分析流体微元的平面运动。如图2所示，t瞬时矩形ABCD所示（x-y平面），由于流体微团各点的速度不同，在δt时间间隔中，经过平移、线变形、角变形和旋转，微元的位置和形状都发生了变化。22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyy22yyvxxvvxxxδxDAδyyBCx图2流体微团的平面运动速度分量分析如下：22yyvxxvvxxx22yyvxxvvyyy22yyvxxvvxxx22yyvxxvvyyy22yyvxxvvxxxdxdxdyvvdydydxvvzyxyyyyzxyxxxx''•在x-y平面内，因为vx=0,dz=0,故A点的速度只有vx,vy两个分量；而C点的速度则可由（2）式化简为平面运动的速度公式：}（3）可见，此式也包括了表1中的各种不同符号。0zyxxyyyxxyxvv,xvyvy图3流体微团的平面运动（1）平移运动：如图3（a）所示，矩形ABCD各角点具有相同的速度。如果则经过△t时间后，矩形ABCD平移△x=△t,△y=△t,其ABCD的形状不变。•（2）线变形运动：如图4所示，线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的变化率（即线变形速率和），导致矩形ABCD的变形量：xvxyvytxxvxx22tyyvyy22图4dxxxxvxxx的物理意义是vx沿x方向的变化率，是C、A两点（也代表CB、DA两条线）的x方向分速度的变化量。dyyy是C、A两点（也代表CD、BA两条线）的y方向分速度的变化量。0yvxvyx在不可压缩流体中，，如果0zyxxyyxvv则其变为如图4所示。速度。则称为微元的直线变形称为直线应变速度，线变形运动，于是这种运动称为微元的直dzdydxzzyyxxzzyyxx,,,,速度的变化量；方向分线上）的两点（代表是速度的变化量；方向分线上）的两点（代表是上的速度梯度；沿上的变化率，也叫沿是上的速度梯度；沿上的变化率，也叫沿是yACdxxvxACdyyvxvxvxvyvyvyvyxyyyxxxADCB,,ABCD,,•（3）角变形和旋转0yyxxyxvvtxvxtxxvyy)2(2tantyvytyyvxx)2(2tanxvyvyx当矩形ABCD只发生角变形运动，如图5（c）所示。图5流体微团的平面运动由于这两个速度梯度的存在，当经dt后发生变化，在一般情况下xvyvyxABCD在发生旋转运动的同时，还会发生角变形运动。这两种运动由和所决定。如图5(e)所示。xvyvyx当矩形ABCD只发生旋转运动，形状不变。如图5（d）所示。图5流体微团的平面运动亦就是矩形在角变形运动和旋转运动同时发生的情况下，将会有以下关系式：2121（4）这就是说两个不相等的角度与可以用（4）式所示的另外两个角度的和或差来表示，于是就可以设想ABCD先整体同向旋转一个角，变为A'B'C'D'，然后互相垂直的两边再反向各自剪切一个角，于是最终变成由所决定的A''B''C''D''的形状。及yvxvtttxyz2121tyvxvxy2121tyvxvxy2121tyvxvxy21于是沿z轴流体微元的旋转角速度分量：因此，由式（4）可解出微元整体的旋转角微元一个边的剪切角微元整体的剪切角同理，沿x，y轴流体微团的旋转角速度分量分别为:zvyvyzx21xvzvzxy21微元一个边的剪切角速度（角变形速度分量）}（5）同理，可有流体微元角变形速度分量为yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121yvxvtttxyz2121前面在流体微元的分析中，已给出A点的速度，与点A相距微小矢径的点C()的速度为:zzyyxx,,zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzzyyyyyxxxxxCCC(6)将式(5)中代入以上三式，便可将式（6）写成：)()()()()()(xyyxzzvvvzxxzyyvvvyzzyxxvvvyxxyzzAzxzzxyyAyzyyzxxAx（7）•上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。xyzxyxx,,,该定理可简述为：在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分：分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。前面提到的公式（2）（3）中的符号是类似的，按平面运动中的物理意义，类推到空间运动，自然速度分解公式中的全部符号和物理意义我们也都是清楚的了。