2018年高考数学二轮专题复习训练：专题一 三角 第3课时 解三角形(能力课)

第3课时解三角形(能力课)[常考题型突破]三角变换与解三角形的综合问题[例1](2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝45，C＝π4.(1)求AB的长；(2)求cosA－π6的值．[解](1)因为cosB＝45，0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝1－452＝35.由正弦定理知ACsinB＝ABsinC，所以AB＝AC·sinCsinB＝6×2235＝52.(2)求cosA－π6的值．[解]在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cosB＋π4＝－cosBcosπ4＋sinBsinπ4.又cosB＝45，sinB＝35，故cosA＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A＜π，所以sinA＝1－cos2A＝7210.因此，cosA－π6＝cosAcosπ6＋sinAsinπ6＝－210×32＋7210×12＝72－620.(1)解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC,以及在△ABC中，AB⇔sinAsinB等．[方法归纳][变式训练]1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C＝csinB.(1)求角C；(2)若sinB－π3＝35，求sinA的值．解：(1)由正弦定理及bsin2C＝csinB，得2sinBsinCcosC＝sinCsinB，因为sinB0，sinC0，所以cosC＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π3.解：因为C＝π3，所以B∈0，2π3，所以B－π3∈－π3，π3，又sinB－π3＝35，所以cosB－π3＝1－sin2B－π3＝45.又A＋B＝2π3，即A＝2π3－B，所以sinA＝sin2π3－B＝sinπ3－B－π3＝sinπ3cosB－π3－cosπ3sinB－π3＝32×45－12×35＝43－310.(2)若sinB－π3＝35，求sinA的值．2．(2017·苏北四市一模)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB＝2，tanC＝3.(1)求角A的大小；(2)若c＝3，求b的长．解：(1)因为tanB＝2，tanC＝3，A＋B＋C＝π，所以tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－tanB＋tanC1－tanBtanC＝－2＋31－2×3＝1.又A∈(0，π)，所以A＝π4.(2)若c＝3，求b的长．解：因为tanB＝sinBcosB＝2，且sin2B＋cos2B＝1，又B∈(0，π)，所以sinB＝255.同理可得sinC＝31010.由正弦定理，得b＝csinBsinC＝3×25531010＝22.解三角形与平面向量结合[例2](2017·盐城模拟)设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积的大小为S，3AB―→·AC―→＝2S.(1)求sinA的值；(2)若C＝π4，AB―→·AC―→＝16，求b.[解](1)由3AB―→·AC―→＝2S，得3bccosA＝2×12bcsinA，即sinA＝3cosA.整理化简得sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，所以sin2A＝910.又A∈(0，π)，所以sinA0，故sinA＝31010.(2)若C＝π4，AB―→·AC―→＝16，求b.[解]由sinA＝3cosA和sinA＝31010，得cosA＝1010，又AB―→·AC―→＝16，所以bccosA＝16，得bc＝1610.①又C＝π4，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝31010×22＋1010×22＝255.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得b255＝c22，即c＝104b.②联立①②得b＝8.求解三角函数与平面向量综合问题的一般思路(1)求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．[方法归纳][变式训练]1．(2017·南通三调)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝cosA＋π3，sinA＋π3，n＝(cosB，sinB)，且m⊥n.(1)求A－B的值；(2)若cosB＝35，AC＝8，求BC的长．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝cosA＋π3cosB＋sinA＋π3sinB＝cosA＋π3－B＝0，又A，B∈0，π2，所以A＋π3－B∈－π6，5π6，所以A＋π3－B＝π2，即A－B＝π6.(2)若cosB＝35，AC＝8，求BC的长．解：因为cosB＝35，B∈0，π2，所以sinB＝45.所以sinA＝sinB＋π6＝sinBcosπ6＋cosBsinπ6＝45×32＋35×12＝43＋310.由正弦定理，得BC＝sinAsinB×AC＝43＋31045×8＝43＋3.2．(2017·镇江调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m＝(a－c，b＋c)，n＝(b－c，a)，且m∥n.(1)求B；(2)若b＝13，cosA＋π6＝33926，求a.解：(1)因为m∥n，所以a(a－c)－(b＋c)(b－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，又B∈(0，π)，故B＝π3.(2)若b＝13，cosA＋π6＝33926，求a.解：由(1)得A∈0，2π3，所以A＋π6∈π6，5π6，又cosA＋π6＝33926，所以sinA＋π6＝51326，所以sinA＝sinA＋π6－π6＝sinA＋π6cosπ6－cosA＋π6sinπ6＝51326×32－33926×12＝3926.在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得a＝b·sinAsinB＝13×392632＝1.以平面图形为背景的解三角形问题[例3](2017·南通调研)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b(sinC＋cosC)．(1)求∠ABC；(2)若∠A＝π2，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．[解](1)在△ABC中，因为a＝b(sinC＋cosC)，所以sinA＝sinB(sinC＋cosC)，所以sin(B＋C)＝sinB(sinC＋cosC)，所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBsinC＋sinBcosC,所以cosBsinC＝sinBsinC，又因为C∈(0，π)，故sinC≠0，所以cosB＝sinB，即tanB＝1.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)若∠A＝π2，D为△ABC外一点，DB＝2，DC＝1，求四边形ABDC面积的最大值．[解]在△BCD中，DB＝2，DC＝1，BC2＝12＋22－2×1×2×cosD＝5－4cosD.又A＝π2，由(1)可知∠ABC＝π4，所以△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12×BC×12×BC＝14BC2＝54－cosD，又S△BDC＝12×BD×DC×sinD＝sinD,所以S四边形ABDC＝54－cosD＋sinD＝54＋2sinD－π4.所以当D＝3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54＋2.平面图形为背景的解三角形问题的一般思路(1)建联系在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中到某一个三角形.(2)用定理①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[方法归纳][变式训练](2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝π3.(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC＝CDsinα，于是sinα＝CD·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)求BE的长．解：由题设知0απ3，由(1)知cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3·sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE＝714，所以BE＝47.[课时达标训练]1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)设BC―→·CA―→＝CA―→·AB―→，求证：△ABC是等腰三角形；(2)设向量s＝(2sinC，－3)，t＝(cos2C，cosC)，且s∥t，sinA＝13，求sinπ3－B的值．解：(1)证明：由BC―→·CA―→＝CA―→·AB―→，得abcosC＝bccosA.化简且由正弦定理得，sinAcosC＝sinCcosA，∴sin(A－C)＝0.∴A＝C.故△ABC是等腰三角形．(2)设向量s＝(2sinC，－3)，t＝(cos2C，cosC)，且s∥t，sinA＝13，求sinπ3－B的值．解：由s∥t，得2sinCcosC＝－3cos2C，∴tan2C＝－3.∵C∈0，π2，∴2C∈(0，π)．∴2C＝2π3，故C＝π3.∵sinA＝13，A∈0，π2，得cosA＝223.∴sinπ3－B＝sinA－π3＝12sinA－32cosA＝1－266.2．(2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，a＝5，c＝6，sinB＝35.(1)求b和sinA的值；(2)求sin2A＋π4的值．解：(1)在△ABC中，因为ab，故由sinB＝35，可得cosB＝45.由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝13.由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝31313.所以b的值为13，sinA的值为31313.(2)求sin2A＋π4的值．解：由(1)及ac，得cosA＝21313，所以sin2A＝2sinAcosA＝1213，cos2A＝1－2sin2A＝－513.故sin2A＋π