对角行列式

第一章行列式一.二元一次方程组的几何意义行列式的定义方程组可写成向量形式即1.有唯一解的条件不共线即2.消元:方程(1.1)两边与(1.1)作内积消去y,得其中就是同理得图2因此,于是3.二阶行列式—平行四边形面积1221||||cos()||||cos()2||||sin()OAPBbabOAOBAOBOAOBAOBOAOBAOBSa称为二阶行列式,记作是平行四边形OAPB的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或图23.代数算法利用几何图形表达出来,就是:小结：二元一次方程组行列式的意义---平行四边形的面积这一结论可以继续推广到三维，甚至n维发现：解以二元一次方程时，发现两个解的分母都一样；三元一次方程有同样的性质；四元一次也是；n元一次也是取名：为了表示有统一简单的表示，给这样的分母取了名字行列式，记为123,,det(,)aaa进一步研究（从简单开始）：二元一次方程组用columnpicture解析表示，发现其对应行列式实为两向量所组成的平行四边形面积。以上算法用到二阶行列式的如下基本性质(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘积来展开:det(ka+k1a1,b)=kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如图,就是(3)面积单位:det(e1,e2)=1由(2)det(a,a)=0邻边重合,平行四边形退化为线段,面积为0.知det(,)||||sin0aaaoaaa212122111122det(,)||||sin||||sindet(),eoeeoeeeeeeeee例题：证明det(u,v)=det(u,v+au)0.20.40.60.80.20.40.60.81可写成其中二.三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2.三阶行列式—平行六面体体积3.三阶行列式的基本性质(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开.(1)det((2)如果三个向量中有两个共线,则det()=0.将三个向量中的任意两个互换位置,则det()变为原来值的相反数。111222333112233112233112233111111111221113112222311111111122223331det,det()det(,)det()det(,,,,,,,)det(,)det(,)det(,,,,abcabcabcacaacaaacacaaabbbccbcbbcbcbbbeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee111111111112233322333322221221222211222222222231331322331223)det(,)det(,)det()det(,)det()det(,)det()det(,)det()de,,,,,,,,,,,,,,t(,acacaacacbbbcbbcbbcbbcacaacaabeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee322223333333313313322113322223322333333111111221333322333331,)det(,)det()det(,)det()det(,)det(,,,,,,,,,,,)det(,)det()det(,)d,et(,,cacaacaacaabbcbbcbbcbbcaabcacbeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee333,)cee4.利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从(2.1)中去掉。只剩下i,j,k两两不相等的项。(2.1)变成当i,j,k中有两个相等时，代入(2.2),得又类似地有(2.2)我们有类似地有对角线法则111222333abcabcabc111222111223332333aabcabcbcabcaabccb例1.1计算二阶行列式2134D解：11381)3(24D例1.2计算三阶行列式121051103D解：22023)1(101)5(1121100)1(53DQuestion(1)上面的排列有什么特点？(2)正好与负号怎么直接从排列判断？(3)N=4的对角线法则又会怎么样？对角线法则111222333abcabcabcQuestion(1)下标的排列有什么特点？(2)正好与负号怎么直接从排列判断？(3)N=4的对角线法则又会怎么样？123231312132213321abcabcabcabcabcabc123231312132213321(1)123的全排列333!3216P(2)看排列对换成123需要几次：奇数为负，偶数为正(3)n=4时，对角线法不具有一般性。有无其他具有一般性的方法（更抽象的表示）？三.n阶行列式的引入其中n阶行列式它应具有以下基本性质：(1)是的某种乘积，可以按乘法法则展开。(2)如果n个向量中有两个同向,则=0。将n个向量中的任意两个互换顺序，则变为。(3)det(e1,e2,…,en)=1，其中n维列向量ei的第i分量为1、其余分量为0。是由决定的“n维体积”利用基本性质计算n阶行列式(3.1)当i1,i2,…,in中有两个同向时，这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in两两不相等的项,(3.1)中的变成对1,2,…,n的全体排列(i1,i2,…,in)求和,成为:将排列中任意两个数相互交换位置,称为这个排列的一个对换。相应地，行列式中的互换了位置，其值变为原来值的相反数。进行若干次对换(设为s次)可以将排列变成标准排列(12…n),相应地将变成(3.2)以下只须对每个排列求可以证明,的值由排列唯一决定,我们将记为sgn。则sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得这可以作为n阶行列式的定义。(3.4)四.n阶行列式的定义1.排列的奇偶性由1,2,…,n按任意顺序重新排列而成的有序数组称为一个n元排列。将1,2,…,n按从小到大的顺序得到的排列(12…n)称为自然排列。在任意一个排列中,可能出现顺序“颠倒”的情况：pq然而jpjq,就是较大的数jp反而排在较小的数jq的前面。每出现一对这样的(jp,jq)称为这个排列的一个逆序。排列中的逆序的个数称为这个排列的逆序数，记作。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此t31423,3142是奇排列。自然排列(12…n)的逆序数为0,因此自然排列是偶排列。将排列中的某两个数码jp,jq互相交换位置,称为这个排列的一个对换。•每一次对换必然改变排列的奇偶性。•每一个排列都可以经过有限次对换变成自然排列(12…n)。设排列经过了s次对换变成自然排列。则当s为偶数时，的奇偶性与自然排列相同,是偶排列;当s是奇数时，的奇偶性与自然排列相反,是奇排列。例：排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3个,因此t31423,3142是奇排列。例计算和)31452(t)41352(t解：在5级排列31452中，有逆序(3,1),(3,2)，(4，2)，(5,2).因此，=4.这是一个偶排列.在5级排列41352中，有逆序(4,1)，(4,3)，(4,2)，(3,2),(5,2).因此，=5,这是一个奇排列.)31452(t)41352(tQuestion：有没有一般方法？)(21npppt)()(111小的个数后面比pppt)()(222小的个数后面比pppt)()(111小的个数后面比nnnpppt为奇排列。所以由此方法容易求得14532.51220)14532(tQuestion：有没有一般方法？时为奇排列。当时为偶排列，所以当34,2414,4.2)1(1)2()1()21)1((kknkknnnnnnntnn)1(123称为自然排列.定理1.1对换改变排列的奇偶性.证明首先考虑相邻两数对换的情形.设排列tsbpqbaa11(1.7)将对换变成qp,tsbqpbaa11(1.8)显然，在排列(1.7)，(1.8)中，或与前面和后面的各数所构成的逆序数都相同，不同的只是的次序.•如果（1.7）中则经过对换，排列（1.8）比排列（1.7）的逆序数减少一个；•如果（1.7）中不构成一个逆序，则经过对换，排列（1.8）比排列（1.7）的逆序数增加一个，不论增加一个还是减少一个，排列（1.7）与排列（1.8）的逆序数的奇偶性肯定不同了.pqqp、qp、qp、再考虑不相邻的两数的对换情形，设排列trsbqbcpcaa111(1.9)经过对换变成qp、trsbpbcqcaa111(1.10)不难看出，该对换可以通过若干次相邻两数的对换来实现.比如先把排列（1.9）经过r+1次相邻两数的对换变成trsbqpbccaa111(1.11)再把排列（1.11）经过r次相邻两数的对换变成（1.10），于是，总共进行了2r+1次相邻两数的对换.把排列（1.9）变成了排列（1.10），2r+1是奇数.而前面已证明相邻两数的一个对换改变排列的奇偶性.因而奇数次相邻两数的对换改变排列的奇偶性.将n个数aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列的形式,按如下方式计算：2.n阶行列式的定义得到一个数，称为n阶行列式。上面的式子中的求和号表示对所有的排列求和。例1：写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。42342311aaaa44322311aaaa重要结论：(1)上三角形行列式nnnnaaaaaaD00022211211nnaaa2211从行列式定义理解(2)下三角形行列式nnaaa2211nnnnaaaaaaD21222111000(3)对角行列式nnaaaD2211nnaaa2211(4)副对角行列式11,21nnnaaaD(1)21211(1)nnnnnaaa行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnjjjtaaa21211)(niiitnaaa21211)(ReviewtheQuestions(1)行列式下标的排列有什么特点？(2)行列式符号怎么直接从排列下标进行判断？(3)N=4的对角线法则又会怎么样？(1)下标的全排列(2)查看下标的逆序数是奇数还是偶数(3)n=4时，对角线法不具有一般性，有无一般方法？五、代数余子式11121313311112211111122112131331222223323312132222332332233233233233121112132122321231322211132331323333232331()()()detdetaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa3212213321111121121313detdetdetdetaaaaaaaaAAA定义1：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，余下的n－1阶行列式叫ija的余子式,记为ijMijjiijMA1称为(i,j)元素的代数余子式。做(i,j)元素ija,同时111213212223313233aaaaaaaaadet(1)(1)ijijjjijiiCM