几何基本图形在中考中的应用

2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS1几何基本图形在中考中的运用所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，而能否得心应手地运用基本图形，则要靠以下两点：第一点，对基本图形性质掌握的深刻程度；第二点，基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的。正是为了帮助同学们学好、用好这两点，我们特将最重要的一些基本图形性质与功能加以梳理和解析，以便为各类几何图形问题的解决打下牢固的基础。一、线段的性质和线段中点的功能应掌握好：1、线段的两种变换性质；2、线段中点的三项功能。1、线段的变换性质从“变换”的角度说，线段既是轴对称图形（它所在的直线和它的垂直平分线都是对称轴），又是中心对称图形（中点就是对称中心）例1如图，ABC是任意三角形，请画出BCA'和ABC具有全等的关系。【观察与思考】如果把要画的BCA'看作是由ABC变换而来的，那么这个变换使线段BC变成自身，联想到线段的变换性质，就应有三种结果。（1）（2）解：如图（2）（其中直线1l是BC所在的直线，点1A为点A关于直线1l的对称点；直线2l是线段BC的垂直平分线，点2A为点A关于直线2l的对称点；点O是线段BC的中点，点3A和点A关于点O为对称。BCABCABCA321,,都和ABC全等。【证明】正是线段的变换性质成为本题解法的基础和向导的。2、线段中点的三项功能（1）构造三角形的中线，特别是直角三角形的中线三角形的中线，特别是直角三角形斜边上的中线，在相关问题的解决中常有重要的作用。BACABC1A3AO1l2l2A2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS2例2如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AG//DB，交CB延长线于点G。若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。【观察与思考】首先，由，GB//AD，AG//DB，知四边形AGBD已是平行四边形，其次，由四边形BEDF是菱形，而点E是AB的中点，即ED是ABD中AB边上的中线，且DE=EB=AE，立刻知道90ADB，即四边形AGBD是矩形。解：（略）【说明】正是由对直角三角形斜边上中线性质的深刻认识，直接诱发出从DE=EB=AE，导出90ADB。（2）构造三角形的中位线例3如图（1），已知，AD是ABC的中线，E是AD上一点，连结CE并延长交AB于点F。（1）若E是AD的中点，则BFAF；（2）若AE：ED则，21BFAF；（3）若AE：EDn1，则BFAF；（1）【观察与思考】（1）如图（2），作DM//CF，交AB于点M，EF为ADM的中位线，得AF=FM，DM为BCF的中位线，得BM=MF。可知AF21FB。（2）如图（3），作DM//CF，交AB于点M，易知，AFE∽ADM,得21EDAEFMAF。又DM为BCF的中位线，得DM=FM，412FMAFBFAF（2）（3）类比于（1）和（2），应有nBFAF21（其实可有与（2）类似的推演过程）【说明】本题解决的关键就在于构造出BCF的中位线DM。（3）构造中心对称图形线段的中点是该线段的对称中心，这一性质的延伸，就是以它为基础作“中心对称构造”CADGBEFABDCEFBADCEFMBADCEFM2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS3（3）（特别是中心对称型全等三角形）来使相关问题获得解决。例4已知，如图D是ABC的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC求证：CDEA【观察与思考】以BD及其中点A为基础，构造“中心对称型”三等三角形。解法提示：如下面图（1），（2），（3）。（2）（3）（1）方法一：如图（1），延长CA到F，使FA=CA，连结FD，有ACBAFD，DF=BC=DE，得DEAFC方法二：如图（2），分别作CADN交CA的延长线于N，,CABM垂足为M，则有,BAMRtDANRt得，DN=BN，进而推得CBMEDNRt，得CDEA方法三：如图（3）延长CA到G，使得AG=EA，则,BGADEA得,GDEA再由BG=DE=BC，得CGDEA。特别说明：我们借助基本图形的变换性质，能更好更快地发现图形或图形元素之间的关系，但要证明还需要按教材上的演绎形式来论述。简单说就是“借变换发现，按原格式证明”。本书均按此方式来做，以后不再重申。例5操作：如图，点O为线段MN的中点，直线PQ与线段MN相交于点O，利用图（1）画出一对以点O为对称中心的全等三角形。ABCEDABCEDFABCEDNMABCEDGABEC2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS4根据上述操作得到的经验完成下列探究活动。（1）（2）探究：如图（2），在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC边的中点，AFEAFBAE,与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论。【观察与思考】对于图（1），只要在直线PQ上点O的两侧分别取点E，F使OE=OF，就有ONFOME（图略）对于图（2），延长AE到G，使EG=EA，连结CG，如图（2`）。由“操作”的结论可知GCEABE，得AB=GC，,GCBABC即CG//AB，而CF//AB，可知点F在GC上，而由GAFBAGG，得AF=GF。这样就有CFAFCFGFGCAB解：（略）（2`）由以上题目的解法研究看出：凡是涉及线段（包括多边形的边）及其中点的的问题，应注意从线段的变换性质和它的中点的三项功能考虑。二、角平分线的功能角平分线主要功能有：1、以角平分线的对称性质作轴对称构造；2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形。3、角平分线所在直线为轴构造轴对称图形角平分线最重要的性质是它所在直线为“角”这个图形的对称轴，其他的性质都可以看作是由此导出的。因此，遇有角平分线的问题时，首先应当想到它的轴对称功能。例1如图，在ABC中，60ABC，AD，CE分别为ACBBAC,的平分线，求证：AC=AE+CDMNPQODFABECGFDABCDEO2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS5【观察与思考】根据角平分线轴对称功能，首先想到在AC上作出AE关于AD的的对称图形AF（如图（2）），进而希望有CF和CD也关于CE对称，这就引导我们获取了如下的证法。证明：取AC上的点F，使AF=AE，连结OF。在AOEAOF和中，AF=AE，AO公用，EAO，FAO（1）AOE。AOFAOE，AOF又因为12060180211801802118021180）（B）（ACB）BAC（AOC（2）60AOFAOE在CODCOF和中CO公用。CODAOEAOFAOCFOCDCOFCO60,CDCFCODCOF,。CDAECFAFAC【说明】本题的关键步骤就是以“角平分线的轴对称功能”为基础去构造全等三角形。例2如图，已知点A（0，1）是y轴上一个定点，点B是x轴上一个动点，以AB为边，在OAB外部作,OABBAE过点B作,ABBC交AE于点C，设点C的坐标为（yx,），当点B在x轴上运动时，求y关于x的函数关系式。【观察与思考】先从几何图形的角度来看yx,，为此作xCD轴于点D（如图（2）），当点B在x的正半轴上时，,,CDyODx现考虑CD与OD之间的函数关系式。再由AB为OAE的平分线，沿着它是对称轴思考：若作CB的延长线交y轴于'C，由,ABCB可ABCDEOFxyOABECy2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS6知BC'和CB关于AB对称，即B为CC'的中点，再结合xCD轴，xOC'轴，则OBCCDB’和关于点B为中心对称，得yCDOC‘，xODOB2121。再由AOBBOC和'的相似关系即可导出欲求的函数关系式。解：作xCD轴于点D，延长CB，交y轴于点'C，则xODyCD,OAEAB是的平分线，且''ABCABCRtAB，CC，得'BCBC。（2）在OBCCDB‘和中，）ACCDB（OCDCBBO，CCBD’//‘’BCCB’xODDBOByCDOCOB，CCDB2121,’‘。在BAOBOC，AOBRtBOCRt‘'中和（同为ABO的余角）。'BOCRt∽Rt,AOB得xyxOBOAOCOB21121,'即，241xy。容易知道，这个关系在0x和x取负数值时，也是成立的。可以看出：不论在什么样的综合题中，角平分线的“轴对称功能”，都常是解法获得的有力指导，因此，应当时刻注意发挥角平分线这一功能的重要作用。2、角平分线与平行线结合构造出等腰三角形我们知道，若OP是AOB的平分线，则与OA平行，与OB平行，与OP平行的直线，就会分别与另外两直线相交出等腰三角形来：即情形一，与OA平行的直线MN和OB，OP所在的直线相交如图（1）和（2）：OBPAMNCD1231BPAO2CNMD342015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS7（1）MN和OB，OP交出等腰三角形COD，（2）MN和OP，OB的反向延长线交出等腰三角形COD，其中CO=CD。（213）其中CO=CD。（4123）情形二，与OP平行的直线MN和OA，OB所在的直线相交如图（3）和（4）（3）MN和OB的反向延长线及OA交出等腰三角形（4）MN和OA的反向延长线及OB交出等腰三角形DCO，其中OC=OD，（4213）OCD，其中OC=OD。（4213）情形三，与OB平行的直线MN和OA，OP所在的直线相交，与情形一完全类似，也可得两种形式的等腰三角形。由此可知：①角平分线除了造出“等角之外”，它在许多情况下还可以造出“等边”。②平行四边形（包括菱形，矩形，正方形）和梯形，本身就有平行线，因此，当这些图形中再有角平分线时（菱形的对角形已经是角平分线），必然就会形成等腰三角形，这对解决许多相关问题提供了依据。角平分线这一功能有许多应用，如下边的例子；例3如图（1），在平行四边形ABCD中，线段AE，BF分别平分ABCDAB和，交CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M。（1）试说明：BFAE；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明。【观察与思考】注意到平行四边形对边平行和角平分线的功能，解法易得。解：（1）90)(212121ABCDABABCDABMBAMABBFAEAMB.9090180。（2）有结论：DF=CE，理由如下：在DAE中，DADEDEABAEDAE,。OBPNMADC2134OBPANMCD1224ABCDMFE2015年复习专题自信释放潜能；付出铸就成功！WLS8同理有CF=CB。CEEFCFEFDEDFCFCBDADE.由以上的例题可以看出：当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时，除了构成等角外，还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形：Ⅰ。以角平分线为轴，构成怎样的对称图形？Ⅱ。以角平分线和平行线结合，构成怎样的等腰三角形？思考若以这样的功能作指导，大都会导到问题的恰当的解决方法。三、等腰三角形的变换性质等腰三角形具有这样的变换性质1、等腰三角形是轴对称图形；2、等腰三角形两腰绕顶点的旋转重合性。1、等腰三角形的轴对称图形等腰三角形是以底边上的中线（底边上的高线，顶角的平分线）所在的直线为轴对称的。如图（1）凡是涉及等腰三角形的问题，都首先应当沿着“轴对称”这一特征去分析，去认识，去寻找解决的方法。（1）（2）例1如图（2），ABC中