【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版

§6.3等比数列及其前n项和数学川（理）第六章数列基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的，通常用字母____表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．1.等比数列的特征从第2项起，每一项与它的前一项比等于同一常数(不为零)公比qa1·qn－1基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．2.等比数列中的函数观点G2＝a·b(ab≠0)qn－mak·al＝am·an基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____.(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．3.两个防范qn题号答案解析12345基础知识·自主学习基础自测22n512D题型分类·深度剖析题型一等比数列的基本量的计算思维启迪解析探究提高【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.题型分类·深度剖析题型一(1)由S1，S3，S2成等差数列，列方程求出q.(2)由a1－a3＝3求出a1，再由通项和公式求出Sn.思维启迪解析探究提高等比数列的基本量的计算【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.题型分类·深度剖析题型一解(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．由于a1≠0，故2q2＋q＝0.思维启迪解析探究提高又q≠0，从而q＝－12.(2)由已知可得a1－a1－122＝3.故a1＝4.从而Sn＝4[1－－12n]1－－12＝831－－12n.等比数列的基本量的计算题型分类·深度剖析题型一等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．思维启迪解析探究提高等比数列的基本量的计算【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.变式训练1等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．题型分类·深度剖析解(1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，又a1＋a6＝11，故a1，a6可看作方程x2－11x＋329＝0的两根，又q∈(0,1)，∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.【例2】在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．题型分类·深度剖析题型二等比数列的性质及应用思维启迪解析探究提高【例2】在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．题型分类·深度剖析题型二注意巧用性质，减少计算．如：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝ap·aq；若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am·an＝a2p.思维启迪解析探究提高等比数列的性质及应用题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高【例2】在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．等比数列的性质及应用解(1)设公比为q，则a5a2＝q3，即q3＝－18，∴q＝－12，∴an＝a5·qn－5＝－12n－4.(2)∵a3a4a5＝8，又a3a5＝a24，∴a34＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.题型分类·深度剖析题型二思维启迪解析探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．【例2】在等比数列{an}中，(1)若已知a2＝4，a5＝－12，求an；(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．等比数列的性质及应用变式训练2(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42题型分类·深度剖析解析把a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝a1a2a3·a7a8a9＝5×10＝52.A变式训练2(2)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.题型分类·深度剖析解析根据等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8,7－8，S9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S9－7)．解得S9＝718.所以a4＋a5＋…＋a9＝S9－S3＝718－8＝－78.－78【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型分类·深度剖析题型三等比数列的判定思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造数列{an－1}．(2)由cn求an再求bn.思维启迪解析探究提高【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．等比数列的判定【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高等比数列的判定(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型分类·深度剖析题型三思维启迪解析探究提高等比数列的判定(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．题型分类·深度剖析题型三注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．思维启迪解析探究提高等比数列的判定变式训练3已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．题型分类·深度剖析证明∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0.又由an＋1＝2an知an≠0，∴an＋1an＝2.∴{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.审题视角规范解答温馨提醒答题模板9.等差与等比数列综合性问题的求解题型分类·深度剖析典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．规范解答温馨提醒设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．题型分类·深度剖析审题视角答题模板9.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．(1)解设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d，依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.规范解答温馨提醒题型分类·深度剖析审题视角2分所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.答题模板9.等差与等比数列综合性问题的求解依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．4分故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(