【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和课件 文

第六章数列§6.4数列求和内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析审题路线图系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝＝.na1＋an2na1＋nn－12d②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝；na1(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.a11－qn1－qa1－anq1－q知识梳理1答案(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.()√(2)当n≥2时，1n2－1＝12(1n－1－1n＋1).()√(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()×(4)数列{12n＋2n－1}的前n项和为n2＋12n.()×思考辨析答案(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()√答案1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5＝________.解析∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.56考点自测2解析答案123452.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100＝________.解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.－200解析答案123453.等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列Snn的前10项的和为________．解析因为Snn＝n＋2，75解析答案12345所以Snn的前10项和为10×3＋10×92＝75.4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.解析Sn＝21－2n1－2＋n1＋2n－12＝2n＋1－2＋n2.2n＋1－2＋n2解析答案12345解析因为数列an＝ncosnπ2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.∴S2017＝S2016＋a2017＝20164×2＋2017·cos20172π＝1008.5.数列{an}的通项公式为an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2017＝________.1008解析答案12345返回题型分类深度剖析例1已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.解当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(1)求数列{an}的通项公式；题型一分组转化法求和解析答案(2)设，求数列{bn}的前2n项和.解由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝21－22n1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.2(1)nannnba＝＋－解析答案例1(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝2－2n＋11－2＋n2＝2n＋1＋n2－2.当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋n－12－n＝2n＋1－n2－52.∴Tn＝2n＋1＋n2－2，n为偶数，2n＋1－n2－52，n为奇数.解析答案思维升华引申探究已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn.跟踪训练1解析答案例2(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；题型二错位相减法求和解析答案(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝3－2n＋32n，故Tn＝6－2n＋32n－1.解析答案思维升华已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Sn＝a＋2an－3.(1)求数列{an}的通项公式；跟踪训练2解析答案(2)已知bn＝2n，求Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn的值．解Tn＝3×21＋5×22＋…＋(2n＋1)·2n，③2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)2n＋1，④④－③，得Tn＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)2n＋1＝－6＋8－2·2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2.解析答案命题点1形如an＝1nn＋k型解由题意知，S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.令n＝1，有S21－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，例3设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；题型三裂项相消法求和可得S21＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又an为正数，所以a1＝2.解析答案(2)求数列{an}的通项公式；解由S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*可得，(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，则Sn＝n2＋n或Sn＝－3，又数列{an}的各项均为正数，所以Sn＝n2＋n，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1).所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n.又a1＝2＝2×1，所以an＝2n.解析答案(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1anan＋1＜13.解析答案命题点2形如an＝1n＋n＋k型解析由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝12，则12()fxx.∴an＝1fn＋1＋fn＝1n＋1＋n＝n＋1－n，例4已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝1fn＋1＋fn，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝________.S2017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2017－2016)＋(2018－2017)＝2018－1.2018－1解析答案思维升华在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S2n＝anSn－12.(1)求Sn的表达式；跟踪训练3解析答案(2)设bn＝Sn2n＋1，求{bn}的前n项和Tn.解∵bn＝Sn2n＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝121－12n＋1＝n2n＋1.解析答案返回审题路线图系列典例(14分)已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；审题路线图系列四审结构定方案解析答案审题路线图(2)求数列9－2an2n的前n项和Tn.温馨提醒解析答案返回审题路线图思想方法感悟提高非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和.方法与技巧1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.2.在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并.3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.失误与防范返回练出高分123456789101112131415解析该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋12n，1.数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于____________.则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(12＋122＋…＋12n)＝n2＋1－12n.n2＋1－12n解析答案所以a27＝a3·a9，所以a27＝(a7＋8)(a7－4)，所以S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.解析答案1234567891011121314152.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________．解析通过a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，所以a7＝8，所以a1＝20，1103.已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析答案1234567891011121314154.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且对任意正整数k，l，都有ak＋l＝ak＋al，则S8的值是________.解析因为a1＝2，且对任意正整数k，l，都有ak＋l＝ak＋al，令k＝n，l＝1，得an＋1＝an＋a1，即an＋1＝an＋2，所以{an}是首项为2，公差为2的等差数列，从而有an＝2n，所以Sn＝n(n＋1)，故S8＝72.72解析答案1234567891011121314155.已知函数f(n)＝n2，当n为奇数时，－n2，当n为偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.解析由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…[phone]＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×10