【步步高】2013-2014学年高中数学 第一章 1.5.1 1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程

1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程【学习要求】1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【学法指导】1．“以直代曲”的思想：用直边图形(如矩形)代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积．2．“以不变代变”的思想：变速直线运动的路程问题采用“以不变代变”的思想，转化为求匀速直线运动的路程问题，也可转化为求曲边梯形的面积.填一填·知识要点、记下疑难点1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．y＝f(x)填一填·知识要点、记下疑难点(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些__________，对每个____________“以直代曲”，即用______的面积近似代替____________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和近似值填一填·知识要点、记下疑难点(3)求曲边梯形面积的步骤：①_______，②_________，③________，④__________.2．求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用______，__________，______，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割近似代替求和取极限分割近似代替求和取极限研一研·问题探究、课堂更高效探究点一求曲边梯形的面积问题1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．研一研·问题探究、课堂更高效问题2如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?思考1图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．研一研·问题探究、课堂更高效思考2能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1n(i－1n)2·Δx＝i＝1n(i－1n)2·1n(i＝1,2，…，n)研一研·问题探究、课堂更高效＝0·1n＋(1n)2·1n＋…＋(n－1n)2·1n＝1n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＝13(1－1n)(1－12n)．∴S＝limn→∞Sn＝limn→∞13(1－1n)(1－12n)＝13.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．研一研·问题探究、课堂更高效思考3在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点in处的函数值f(in)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi∈[i－1n，in]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？答以上方法都能求出S＝13.研一研·问题探究、课堂更高效例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝12x2所围成的图形的面积．解(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间：[0，1n]，[1n，2n]，[2n，3n]，…，[i－1n，in]，…，[n－1n，1]，每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.研一研·问题探究、课堂更高效(2)近似代替在区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)上，以i－1n的函数值12i－1n2作为高，小区间的长度Δx＝1n作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈12(i－1n)2·1n.(3)求和曲边梯形的面积近似值为S＝i＝1nΔSi≈i＝1n12(i－1n)2·1n＝0·1n＋12·(1n)2·1n＋12·(2n)2·1n＋…＋12·(n－1n)2·1n研一研·问题探究、课堂更高效＝12n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＝16(1－1n)(1－12n)．(4)取极限曲边梯形的面积为S＝limn→∞16(1－1n)(1－12n)＝16.小结求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由y＝x2x≥0y＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．研一研·问题探究、课堂更高效(1)分割将区间[0,2]n等分，则Δx＝2n，取ξi＝2i－1n.(2)近似代替求和Sn＝i＝1n[2i－1n]2·2n＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝83(1－1n)(1－12n)．(3)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞83(1－1n)(1－12n)＝83.研一研·问题探究、课堂更高效∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－83＝163.∴2S阴影＝323，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为323.研一研·问题探究、课堂更高效探究点二求变速运动的路程问题利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？答物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．研一研·问题探究、课堂更高效例2汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？解将区间[1,2]分成n个小区间，则第i个小区间为[1＋i－1n，1＋in](i＝1,2，…，n)．∴ΔSi≈f(1＋i－1n)·1n，Sn＝i＝1nf(1＋i－1n)·1n＝1ni＝1n[(1＋i－1n)2＋2]＝1ni＝1n[i－12n2＋2i－1n＋3]研一研·问题探究、课堂更高效＝1n{3n＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]}＝3＋n－12n－16n2＋n－1n.S＝limn→∞Sn＝limn→∞[3＋n－12n－16n2＋n－1n]＝133.∴这段时间行驶的路程为133km.小结把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？解(1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为[2i－1n，2in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝2in－2i－1n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为ΔSi(i＝1,2，…，n)，则显然有S＝i＝1nΔSi.研一研·问题探究、课堂更高效(2)近似代替取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)．于是ΔSi≈ΔS′i＝v(2in)·Δt＝[3(2in)2＋2]·2n＝24i2n3＋4n(i＝1,2，…，n)．(3)求和Sn＝i＝1nΔS′i＝i＝1n(24i2n3＋4n)＝24n3(12＋22＋…＋n2)＋4＝24n3·nn＋12n＋16＋4＝8(1＋1n)(1＋12n)＋4.从而得到S的近似值S≈Sn.研一研·问题探究、课堂更高效(4)取极限S＝limn→∞Sn＝limn→∞[8(1＋1n)(1＋12n)＋4]＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12km.练一练·当堂检测、目标达成落实处1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为()A.1nB.2nC.3nD.12n解析区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为2n.B练一练·当堂检测、目标达成落实处2．函数f(x)＝x2在区间i－1n，in上()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析当n很大，即Δx很小时，在区间[i－1n，in]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．D练一练·当堂检测、目标达成落实处3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上近似值等于()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确C练一练·当堂检测、目标达成落实处4．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．解析将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95]，[95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.1.02练一练·当堂检测、目标达成落实处求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；(3)求和：i＝1nf(ξi)·b－an；(4)取极限：S＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．