最优控制第六章习题答案

1.有十个城市①为起点，⑩为终点。站与站之间称为段，每段路程所用的时间（小时）写在段上，则应如何行使，让从①到⑩所花的时间最短。④⑻72641③34634⑦⑼433343④431⑥⑻53解：⑴4N11(8)3,(9)4JJ将距离数字标注于图中，数字旁括号内的文字表示相应的决策变量。由于从8到10及从9到10都只有一种可能，所以本级无决策问题。⑵3N本级决策有三种选择。每种选择中又有两条可能的路线。例如，从5出发，可达8，也可达9，所以131(5,8)(8)13(2)minmin4(5,9)(9)44dJJdJ说明5到10的最短距离为4，路线为5-8-10决策变量为2(5)8S同理，从6出发时，有121(6,8)(8)63(6)minmin7(6,9)(9)34dJJdJ说明6到10的最短距离为7，路线为6-9-10决策变量为2(6)9S从7出发时，有121(7,8)(8)33(7)minmin6(7,9)(9)34dJJdJ说明7到10的最短距离为6，路线为7-8-10决策变量为2(7)8S⑶2N本级有三种选择，计算过程如下：2322(2,5)(5)74(2)min(2,6)(6)min471166(2,7)(7)dJJdJdJ决策变量3(2)5(6)S141092356782322(3,5)(5)34(3)min(3,6)(6)min27746(3,7)(7)dJJdJdJ决策变量3(3)5S2322(4,5)(5)44(4)min(4,6)(6)min17856(4,7)(7)dJJdJdJ决策变量3(4)5(6)S⑷1N本级决策是唯一的，计算结果为2422(1,2)(2)211(1)min(1,3)(3)min471138(1,4)(4)dJJdJdJ决策变量4(1)3(4)S可确定最短路线为1-3-5-8-102．一维线性系统，设变量无约束，最优控制问题的数学模型为：22210(),kkkkkJqxruTxaxbu初始状态0x为已知。式中,,,abqr为常数，0,=1rT设。求最优控制序列。解：本题为三级决策问题.因为=1T，22210(),kkkkkJqxruTxaxbu①令3,2Nk*22122322,Jqxruxaxbu因为ku无约束，故令*12220Jruu求得*20u将上述结果代入*1J方程，易得*212Jqx②2,1Nk211xaxbu*22*2111222121222111122221111()[()](1)2()JqxruJqxxruqxaxburuqaxabqxuqbru*2211122()0Jabqxqbruu解得*1121abquxqb将上述结果代入*2J方程，易得2222*222122(32)[(1)](1)aqbqbrJqaxqb③1,0Nk100xaxbu*22*3002222222220012222222222000022(32)[(1)](1)(32)[(1)]()(1)JqxruJaqbqbrqxruqaxqbaqbqbrqxruqaaxbuqb解得*0u将上述结果代入*3J方程，易得3.22210(),kkkkkJxruTxaxbu，求最优控制序列。解：本题为三级决策问题.因为=1T，22210(),kkkkkJxruTxaxbu①令3,2Nk*22122322,Jxruxaxbu因为ku无约束，故令*12220Jruu求得*20u将上述结果代入*1J方程，易得*212Jx②2,1Nk211xaxbu*22*2111222121222111122221111()[()](1)2()JxruJxxruxaxburuaxabxubru*2211122()0Jabxbruu解得*1121abuxb将上述结果代入*2J方程，易得222*222122(32)[(1)](1)abbrJaxb③1,0Nk100xaxbu*22*30022222222001222222222000022(32)[(1)](1)(32)[(1)]()(1)JxruJabbrxruaxbabbrxruaaxbuqb解得*0u将上述结果代入*3J方程，易得4.运用动态规划方法确定下列系统的最优控制3220(1)2()(),0,1,2,3[()()]txtxtuttJxtut解：本题为四级决策问题。①3t，(4)2(3)(3)xxu*221(3)(3)Jxu*12(3)0(3)Juu求得(3)0u将上述结果代入*1J方程，易得*21(3)Jx②2t，(3)2(2)(2)xxu，*22*2122222(2)(2)(2)(2)(3)5(2)2(2)4(2)(2)JxuJxuxxuxu*24(2)4(2)0(2)Juxu解得(2)(2)ux上述结果代入*2J方程，易得*223(2)Jx③1t，(2)2(1)(1)xxu*22*3222222(1)(1)(1)(1)3(2)13(1)4(1)12(1)(1)JxuJxuxxuxu*38(1)12(1)0(1)Juxu解得3(1)(1)2ux上述结果代入*3J方程，易得*233(1)Jx④0t，(1)2(0)(0)xxu*22*4322222(0)(0)(0)(0)4(1)17(0)5(0)16(0)(0)JxuJxuxxuxu*410(0)16(0)0(0)Juxu解得8(0)(0)5ux上述结果代入*4J方程，易得*2421(0)5Jx5.系统方程为00()(),()dxaxtbutxtxdt求最优控制使12210()tJcxtudt取最小值，此处,,abc均为正常数。解：令***2(,,)()()TTJJJHxuuaxbuxxx①对**(,)Juxx隐式解。因为()ut无约束，故令****120(,)=-2TTHJJJubuxbuxxx得因为2220Hu故求得的**(,)Juxx可使哈密顿函数H极小。把***1(,)=-2TJJuxbxx代入哈密顿—雅可比方程得：2***21()4TJJJbaxtxx考虑该问题为定常问题，且ft自由，因此最优函数仅为()xt的函数，因此有2**21()04TJJbaxxx可得*=0xJ或*24a=-bJxx即可得：2**22a(bJMx恒值）或J**2=0=-axbuu最优控制或6.对于系统422,[]2xxuJuxdt最小化写出哈密顿-雅可比-贝尔曼方程式。解：构造哈密顿函数**242J1JL()X2xTHfxxuu根据哈密顿-雅可比方程有***242JJ1JminLmin[()]2xTfxxuuxx考虑控制不受限制可得：***HJ1J20u2uuxx所以：**242J11J()24Xxxt