高中三角函数复习

1．角的概念(1)正角、负角和零角：按时针方向旋转所形成的角叫；按时针方向旋转所形成的角叫；没有作任何旋转，称它形成一个角．(2)与角α终边相同的角的集合：．负角正角零逆顺{θ|θ＝2kπ＋α，k∈Z}(3)象限角：使角的顶点与重合，角的始边与重合，角的终边落在第象限，就说这个角是第象限角．原点x轴的非负半轴几几(1)定义：任意角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上任意一点P(x，y)到原点的距离为r,则3．任意角的三角函数(2)三角函数的符号如图所示：即：一全正，二正弦，三两切，四余弦．(3)三角函数的定义域正弦函数y＝sinα的定义域：余弦函数y＝cosα的定义域：正切函数y＝tanα的定义域：.{α|α∈R}．{α|α∈R}．1．(2008·全国)若sinα＜0且tanα＞0时则α是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]因为sinα＜0，所以α在第三或四象限；而且tanα＞0，即α在第一或三象限，所以选C.[答案]C2．角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R且a≠0，则sinα的值是()[答案]C(1)将－570°用弧度制表示出来，并指出它所在的象限．(2)将用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角．[点评与警示]任何一个角都可以写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π][答案]B已知cosθtanθ＜0，那么角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角[解析]由cosθ·tanθ＜0可得cosθ与tanθ异号∴角θ是三或四象限角．[答案]C[点评与警示]确定符号，关键是确定每个因式的符号，而确定每个因式的符号关键在于确定角所在象限．P已知角的终边上有一点的坐标是（3a,4a），其中a0，求sin,cos,tan的三角函数值。1．求与角α终边相同的角集合时，先找出0～2π范围内与α终边相同的角，再加2kπ即可．2．三角函数值只与角的终边有关，与点在终边上的位置无关．3．三角函数值的符号与角的终边所在的象限有关，解题时要注意合理地进行分类讨论．方法规律小结复习引入1.三角函数的定义2.诱导公式)Z(tan)2tan()Z(cos)2cos()Z(sin)2sin(kkkkkk复习引入练习1..____________tan600o的值是D3D3C33B33A....复习引入.________,0cossin在则若θθθ第二、四象限第一、四象限第一、三象限第一、二象限.D.C.B.A练习2.B____0sin20cos边在的终则若θθ，且第二象限第四象限第三象限第一象限.D.C.B.A复习引入练习3.C三角函数线2．有向线段：带有方向（规定了起点和终点）的线段叫有向线段．1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度的圆叫单位圆.本书中的有向线段规定方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．讲授新课54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1与与与比较大小：例3.，，，65.D326.C656.B6,0.A例4.)(21sin]20[值范围是的取的上满足，在xx例5.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围．;21sin)1(x.21cos)2(x小结1.三角函数线的定义；2.会画任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.1.考纲要求:三角函数的图象与性质(二)2.教学重点:三角函数性质的应用理解正弦函数、余弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值与轴的交点等).理解正切函数在区间的单调性.了解三角函数的周期性.2,22,0函数图象单调性上递减上递增上递增上递减上递增最值时，时，时，时，奇偶性对称性对称中心:对称中心:对称中心:对称轴：对称轴：无对称轴sinyxcosyxtanyx3[22]()22kkkz，[22]()22kkkz，[222]()kkkz，0211y0211y2xy20max1y2,2xkkz[2,2]()kkkzmin1y(,)()22kkkz2,2xkkz2,xkkzmin1y1maxy2,xkkz(,0)()kkz(,0)()2kkz(,0)()2kkz,2xkkZ,xkkZ无最值奇函数偶函数奇函数xx3232题型一：求三角函数的值域和最值2(2)cossin,4yxxx.求函数的值域22151sinsin(sin),24yxxx：答案12524.值域为，注:最终化为一个角的三角函数式或其复合式.题型二：三角函数的单调性(1)sin(2)yx　求的单调递减区间．3例22,3xy=-s解：函数可化n为：i2k-22k,.232xkz由题意可得5k-k,.1212xkz　5k-k().1212kz函数的单调递减区间为　　，题型二：三角函数的单调性例2(2)比较tan1,tan2,tan3的大小.,tan3tan3tan,2231.22yx解:tan2=tan2-在上是增函数,且-2-tantan3tan1tan2tan3tan1.2-即x0222３1-123/2/2oyx.....关键点：(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0).223]2,0[,sinxxy的图象注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值的点.复习回顾例1、试研究、与的图象关系)3sin(xyxysin)6sin(xy21-1xysinoxy22332635613)6sin(xyxysinxysinxysinxysinxysinxysinxysinxysin)3sin(xyxysinxysinxysinxysinxysin321.y=sin(x+)与y=sinx的图象关系一、函数y=sin(x+)图象函数y=sin(x+)（≠0）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动个单位而得到的。1.列表：xx2x2sin424301000123220例2.作函数及的图象。xy21sinxy2sinxOy2122132.描点：y=sinxy=sin2xy=sin2xy=sinx纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2倍22.Y=sinx与y=sinx图象的关系x21siny对于函数1.列表：xyO211342.描点：y=sinx21y=sinx02π3π402232πxx21x21sin-10100y=sinxy=sinx21纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍函数、与的图象间的变化关系。xy2sinxysinxy21sin1-1223oxy2-324xy21sinxy2sin函数y=sinx(0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。1二、函数y=sinx(0)图象3.y=Asinx与y=sinx图象的关系解：列表000sinx0-20202sinx0-1010sinx2ππ0x223212121描点作图xy012-1-2223π2π例3、作函数及的简图.xysin21xysin2xysin21xysin横坐标不变纵坐标缩短到原来的一半y=Sinxy=2Sinx纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变函数、与的图象间的变化关系。xysin2xysinxysin21y=sinxy=2sinxy=sinx212231-１2-2oxy3-32函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。三、函数y=Asinx(A0)图象例4、如何由变换得的图象？xysin)32sin(3xy1-１2-2oxy3-326536335y=sin(2x+)3y=3sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按Ay=sin(x+)3y=sinx61276732函数y=sinxy=sin(x+)的图象3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象3y=sin(2x+)的图象3（1）向左平移3纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍211-１2-2oxy3-32653635y=sin(2x+)3y=sinxy=sin2xy=3sin(2x+)3方法2：),,(顺序变换按A3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3Sin(2x+)的图象3y=Sin(2x+)的图象321（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变6（2）向左平移函数y=Sinxy=Sin2x的图象P59例1函数,)sin(xAyA称为振幅||2T称为周期Tf1称为频率x称为相位称为初相中函数的性质)sin(xAy一、复习回顾图象的关系与)sin(sin.1xAyxy2.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？例1：作函数y=2sin(x-)的简图。2213316解：列表000y0-2020Sin(Z)-11x2ππ0Z2232π275π练习：作函数y=3sin(2x+)的简图。3:)0,0)(sin(运动中的相关概念在简谐其中AxAy)5()4(21)3(2)2()1(xTfTA振幅周期频率相位初相物理中简谐运动的物理量•例3：已知函数y＝Asin(ωx＋φ)（A0,ω0）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。x33563yO练习：已知函数（A0,ω0,）的最小值是-5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式。cos()yAx045(0,)2作业：1.已知函数在一个周期内的图象如右下，求其表达式。)0,0()sin(AxAy06322-2XY