高三一轮总复习理科数学新课标第4章-第2节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第二节平面向量的基本定理及坐标运算考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝.不共线λ1e1＋λ2e2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)x2－x12＋y2－y12菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔.－x2y1＝0x1y2菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，AB→，AC→可以作为基底()(2)在△ABC中，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC()(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2()【解析】显然(1)，(3)是正确的．(2)中，求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.(2)不正确．因为当b＝(0,0)时，有a∥b，但此时不能写成x1x2＝y1y2的形式，(4)错误．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是()A．①B．①③C．②③D．①②③【解析】②中，e2＝2e1，e1与e2共线；③中e1＝4e2，e1与e2共线．【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则2b－a的坐标是()A．(3，－4)B．(－3,4)C．(3,4)D．(－3，－4)【解析】2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)．【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35【解析】AB→＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝AB→|AB→|＝15(3，－4)＝35，－45.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．(2014·海淀区质检)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.【解析】a－2b＝(3，3)，因为a－2b与c共线，∴3×3－3k＝0，即k＝1.【答案】1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1平面向量基本定理及其应用【例1】(2014·泰州质检)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.【思路点拨】以AD→，AB→为基底分别表示AC→，AE→，AF→，根据平面向量基本定理列方程组求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝12AB→＋AD→，AF→＝AB→＋12AD→，又AC→＝λAE→＋μAF→＝(12λ＋μ)AB→＋(λ＋12μ)AD→，于是得12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.【答案】43菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1如图4－2－1所示，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设AD→＝a，AB→＝b，若AB→＝2DC→，则AO→＝________(用向量a和b表示)．图4－2－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】由AB→＝2DC→知，AB∥DC且|AB→|＝2|DC→|，从而|BO→|＝2|OD→|.∴BO→＝23BD→＝23(AD→－AB→)＝23(a－b)，∴AO→＝AB→＋BO→＝b＋23(a－b)＝23a＋13b.【答案】23a＋13b菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向2平面向量的坐标运算【例2】已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．【思路点拨】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】a＝AB→＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)，b＝BC→＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)，c＝CA→＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)．(1)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n)．∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，注意方程思想的应用．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2014·南京调研)已知向量a＝(6,4)，b＝(0,2)，OC→＝a＋λb，O为坐标原点，若点C在函数y＝sinπ12x的图象上，则实数λ的值为________．【解析】OC→＝a＋λb＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)．∴点C的坐标为(6,4＋2λ)．又点C在函数y＝sinπ12x的图象上，则4＋2λ＝sinπ2＝1，∴λ＝－32.【答案】－32菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(m，m＋1)，若AB→∥OC→，则实数m的值为()A．－32B．－14C.12D.32(2)(2012·重庆高考改编)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.【思路点拨】根据向量坐标运算与平行条件，列方程求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)依题意得，AB→＝(3,1)，由AB→∥OC→，得3(m＋1)－m＝0，∴m＝－32.(2)∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(3，－1)，因此|a＋b|＝32＋－12＝10.【答案】(1)A(2)10菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法31.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2(2)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.【解析】(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)，∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)设向量a＝(m，n)，则a＋b＝(m＋2，n－1)，∵|a＋b|＝1，且a＋b平行于x轴，∴m＋22＋n－12＝1，n－1＝0，解得m＝－