2017届高考数学一轮复习 专题二 解答题对点练5 圆锥曲线.

1．已知动圆Q过定点M(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4.(1)求动圆圆心Q的轨迹C的方程；(2)已知点P(－2,1)，动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设Q(x，y)，根据题意得|x|2＋22＝x－22＋y2，整理得y2＝4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x.(2)设存在符合题意的定点G.设直线l的方程为x＝ny＋m(n≠0且n∈R)，则G(m,0)．将x＝m＋ny代入y2＝4x中，整理得y2－4ny－4m＝0.由题意得Δ＝16n2＋16m0，即n2＋m0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4n，y1·y2＝－4m，kPA＝y1－1x1＋2＝y1－1y214＋2＝4y1－1y21＋8，kPB＝4y2－1y22＋8，kPG＝1－2－m＝－1m＋2，由题意得kPA＋kPB＝2kPG，即kPA＋kPB－2kPG＝0，所以2y1－1y21＋8＋2y2－1y22＋8＋1m＋2＝0，即2(m＋2)y1y2(y1＋y2)＋16(m＋2)(y1＋y2)＋2[(y1＋y2)2－2y1y2](2－m)＋(y1y2)2－32m＝0，把y1＋y2＝4n，y1·y2＝－4m代入上式，整理得(m－2)n＝(m＋2)(2－m)，又因为n∈R，所以m＋22－m＝0，m－2＝0，解得m＝2，所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为(2,0)．2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径．已知椭圆的方程为x216＋y24＝1.(1)若一条直径的斜率为12，求该直径的共轭直径所在的直线方程；(2)若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2.证明：四边形ACBD的面积为定值．解：(1)设与斜率为12的直径平行的弦的端点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，该弦中点为(x，y)，则有x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，相减得x1－x2x1＋x216＋y1－y2y1＋y24＝0，由于x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，且y1－y2x1－x2＝12，所以x＋2y＝0，故该直径的共轭直径所在的直线方程为x＋2y＝0.(2)椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2.四边形ACBD显然为平行四边形，设与AB平行的弦的端点坐标分别为(x3，y3)、(x4，y4)，则k1＝y3－y4x3－x4，k2＝y3＋y4x3＋x4，而x2316＋y234＝1，x2416＋y244＝1，x23－x2416＋y23－y244＝0，故k1k2＝y23－y24x23－x24＝－14.由y＝k1x，x216＋y24＝1，得A，B的坐标分别为41＋4k21，4k11＋4k21，－41＋4k21，－4k11＋4k21，故|AB|＝81＋4k211＋k21，同理C，D的坐标分别为41＋4k22，4k21＋4k22，－41＋4k22，－4k21＋4k22，所以，点C到直线AB的距离d＝4k11＋4k22－4k21＋4k221＋k21＝4|k1－k2|1＋k211＋4k22，设四边形ACBD的面积为S，则S＝d|AB|＝4|k1－k2|1＋k211＋4k22×81＋4k211＋k21＝32|k1－k2|1＋4k211＋4k22＝32k21＋k22－2k1k21＋4k21＋k22＋16k21k22＝16，为定值．3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，椭圆C的上顶点与右顶点的距离为3，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点M在直线x＝2上，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝2，求证：点M为定点．解：(1)由题意知a2＋b2＝3，a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.(2)若直线AB的斜率不存在，直线AB的方程为x＝1.不妨设A1，22，B1，－22，M(2，m)，则k1＝m－222－1＝m－22，k2＝m＋222－1＝m＋22，∵k1＋k2＝2，∴2m＝2，m＝1，点M为(2,1)．若直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，m)，由y＝kx－1，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1·x2＝2k2－11＋2k2，k1＝kx1－1－mx1－2，k2＝kx2－1－mx2－2，k1＋k2＝2kx1x2－3k＋mx1＋x2＋4k＋mx1x2－2x1＋x2＋4＝4k2m＋4m2k2＋1＝2，∴m＝1，∴定点M(2,1)．