过程控制技术-第二章 过程控制系统的数学模型

过程控制技术第二讲被控对象的数学模型2过程控制系统的数学模型所谓被控对象（或环节）的特性，就是被控对象（或环节）的输出变量与输入变量之间的关系。其特性可以用关系曲线表示，具有直观、简单、明了的特点；若用数学表达式来描述更具有普遍意义。2过程控制系统的数学模型2.1被控对象的数学模型数学模型描述被控对象（或环节）特性的数学表达式称为被控对象（或环节）的数学模型；描述过程控制系统特性的数学表达式称为系统的数学模型。2过程控制系统的数学模型数学模型可以有不同的表示形式:(1)如微分方程式、传递函数和频率特性表示式，它们常用于经典控制理论；(2)而状态空间表达式这种数学模型又常用于现代控制理论。各种数学模型表示形式可以互相转换，微分方程式是最基本的表示形式。2过程控制系统的数学模型关于建立被控对象数学模型（微分方程式）的一般步（1）根据被控对象的内在机理，列写基本的物理学定律作为原始动态方程式；（2）根据被控对象的结构及工艺生产要求进行基本分析，（3）消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的（4）若微分方程式是非线性的，则需要进行线性化。2过程控制系统的数学模型一阶被控对象的数学模型2过程控制系统的数学模型图２-１所示的蒸汽直接加热器是一个简单传热对象，（a）图是由蒸汽直接加热器构成的温度控制系统，（b）图是控制系统中的被控对象方块图。工艺要求热流体温度（即容器内温度）保持恒定值，温度控制器根据被测温度信号与设定值的偏差，经计算后去控制控制阀，以控制加热蒸汽的流量，使被控温度达到工艺要求。蒸汽是通过喷嘴与冷流体直接接触的热2过程控制系统的数学模型（12过程控制系统的数学模型（2由图２-１（ｂ）所示可知，被控对象的输出变量就是被控变量热流体出口温度Ｔout；输入变量是表征控制作用和扰动作用的变量，控制作用是蒸汽热量qs的变化，扰动作用则是冷流体的流量Fin或冷流体的温度Ｔin的变化。2过程控制系统的数学模型（3所谓中间变量就是原始动态方程式中出现的一些既不是输入变量又不是输出变量的变量。2过程控制系统的数学模型（4所谓通道是指对象输入变量至输出变量的信号联系。控制作用至被控变量的信号联系称之为对象的控制通道。扰动作用至被控变量的信号联系称之为对象的扰动通道。2过程控制系统的数学模型式（２-７）中qs0是常数项，因此式（２-７）成为只有输出变量（被控变量）Ｔout与输入变量Ｔin的微分方程式，该式称为蒸汽直接加热器扰动通道的微分方程式。2过程控制系统的数学模型（5输出变量和输入变量用增量形式表示的方程式称为增量方程式。变量进行增量化处理后，使方程不必考虑初始条件；能使非线性特性化成线性特性；而且符合线性自动控制系统的情况。因为在过程控制系统中，主要是考虑被控变量偏离设定值的过渡过程，而不考虑在t＝０时刻的被控变量。现以蒸汽直接加热器为例，说明增量方程式的列写方法。2过程控制系统的数学模型2过程控制系统的数学模型2过程控制系统的数学模型通过上述示例及多个示例分析，可以发现虽然被控对象的物理过程不一样，只要它们具有相同的数学模型，即都是一阶微分方程式，故称为一阶被控对象。现在将它们表示为一般形式：dyTyKxdt2过程控制系统的数学模型今后在习惯上为书写的便利，可以将一阶微分方程式中的增量“Δ”省略，但要理解为是相应变量的增量。因此，一阶被控对象的数学模型便可写成：dyTyKxdt2过程控制系统的数学模型于是上述所讨论的温度对象的阻力系数是：热阻Ｒ＝温差/热量流量＝热容Ｃ＝被储存的热量的变化/温度的变化＝1inTqFC＝coutUMT2过程控制系统的数学模型二阶被控对象的数学模型•二阶被控对象数学模型的建立与一阶类似。由于二阶被控对象实际是复杂的，下面仅以简单的实例作一介绍。•【例2-2】两个串联的液体储罐如图2-2所示。为便于分析，假设液体储罐１和储罐２近似为线性对象，阻力系数Ｒ1、Ｒ22过程控制系统的数学模型2过程控制系统的数学模型（1）建立原始方程式：1112dLAFFdt121LFR2223dLAFFdt232LFR2过程控制系统的数学模型（2）若输入变量Ｆ1，输出变量Ｌ2（3）消去中间变量得数学模型：联立式（２-14）、式（２-15）、式（２-16）和式（２-17）11111dLLAFdtR2过程控制系统的数学模型2过程控制系统的数学模型2过程控制系统的数学模型式（２-21）就是图２-2所示两个串联液体储罐当输入变量为Ｆ1、输出变量为Ｌ2时的数学模型。同时可知是两个独立的储罐构成的二阶对象，其特性是两个独立的一阶特性的串联。二阶被控对象的数学模型一般形式（线性常系数）为：22dydyabcyKxdtdt2过程控制系统的数学模型上述介绍的是理论推导被控对象的数学模型方法，对于简单的被控对象（或进行理想化）是容易的，实际生产过程中的被控对象十分复杂，工程中需要依靠实验方法获取被控对象的数学模型，详见本章第三节专门介绍。2过程控制系统的数学模型2.2描述系统或环节特性的数学模型可以是微分方程式，而传递函数是描述过程控制系统或环节动态特性的另一种数学模型表达式。传递函数可以更直观、形象地表示出一个系统的结构和系统各变量间的相互关系，并使运算大为简化。经典控制理论就是在传递函数的基础上建立起来的。2过程控制系统的数学模型传递函数一般过程控制系统或环节的动态方程式可写成：整理后得出：1111011011nnmmnnmmnmmndydydydxdxdxaaaaybbbbxdtdtdtdtdtdt11101110()()mmmmnnnnbsbsbsbYsXsasasasa2过程控制系统的数学模型过程控制系统或环节的传递函数，就是在零初始条件下，系统或环节输出变量y（ｔ）的拉氏变换Ｙ（ｓ）与输入变量x（ｔ）的拉氏变换X（ｓ）之比，记作：()()()YsGsXs初始条件为零输出变量的拉氏变换输入变量的拉氏变换2过程控制系统的数学模型（2）典型环节及其传递函数过程控制系统是由基本环节所组成的，所谓基本环节就是典型环节。只要数学模型一样，它们就是同一种环节，因此典型环节为数不会太多。一阶环节又称惯性环节。微分方程式：()()()dytTytKxtdt()1KGsTs2过程控制系统的数学模型二阶环节二阶环节微分方程式的一般形式为：传递函数：212122()()()()()dytdytTTTTytKxtdtdt21212()()1KGsTTsTTs2过程控制系统的数学模型微分方程式：y（ｔ）＝Ｋx（ｔ）传递函数：Ｇ（ｓ）＝Ｋ比例环节又称无惯性环节或放大环节。④微分方程式：传递函数：()()idytTKxtdt()iKGsTs2过程控制系统的数学模型微分方程式：传递函数：Ｇ（ｓ）＝Ｔｄs()()ddxtytTdt2过程控制系统的数学模型纯滞后环节微分方程式：y（t）＝x（ｔ-τ）传递函数：Ｇ（ｓ）＝ｅ-τs2过程控制系统的数学模型过程控制系统的方块图及其简化•环节基本组合方式及其传递函数（1环节串联是最常见的一种组合方式，如图２-3所示。串联组合方式中，前一环节的输出即为后一环节的输入（后一环节对前一环节的输出没有影响即没有负载效应）。由图2-3可得2过程控制系统的数学模型可见，环节串联后总的传递函数等于各环节传递函数的乘积。2121()()()()()()()()()YsYsYsYsGsXsYsYSXs2过程控制系统的数学模型（2对于并联的各个环节输入都相同，而它们的输出的代数和就是环节总的输出,如图２-4所示。2过程控制系统的数学模型可见，环节并联后总的传递函数等于各环节传递函数的代数和。123123()()()()()()()()()()YsYsYsYsGSGsGsGsXsXs2过程控制系统的数学模型（3如图２-5所示，输出Ｙ（ｓ）经过一个反馈环节Ｈ（ｓ）后，反馈信号Ｚ（ｓ）与输入Ｘ（ｓ）相加减，再作用到传递函数为Ｇ（ｓ）的环节。2过程控制系统的数学模型由图２-5Ｙ（ｓ）＝Ｇ（s）［Ｘ（s）-Ｚ（s）］＝Ｇ（s）［Ｘ（s）-Ｈ（s）Ｙ（s）］所以，反馈连接后其总的传递函数为：正反馈()()()()1()()YsGsWsXsGsHs()()()()1()()YsGsWsXsGsHs2过程控制系统的数学模型2.所谓等效变换，即经过对方块图变换或简化后，没有改变其传递函数的表达形式，没有改变输入和输出的动态关系，这种变换称为等效变换。2过程控制系统的数学模型（1）各支路信号相加或相减时，与加减的次序无关，即连续的比较点（相加减点）可以任意交换次序。如图２-6所示。2过程控制系统的数学模型（2）在总线路上引出分支点时，与引出次序无关，即连续分支点可以任意交换次序。如图２-7所示。2过程控制系统的数学模型（3）线路上的负号可以在线路前后自由移动,并可越过某环节方块，但它不能越过比较点和分支点，如图２-8所示。2过程控制系统的数学模型（4）比较点的前移或后移，则需乘以或除以所越过的环节传递函数，如图２-9所示。2过程控制系统的数学模型（5）分支点的前移或后移,则需乘以或除以越过的环节传递函数，如图２-10所示。2过程控制系统的数学模型①方块图的等效变换其目的是化简方块图，考虑问题时应从如何把一个复杂的方块图通过等效变换，化简成基本的串联、并联、反馈三种组合方式。采用的方②反馈连接与并联连接要区分清，特别是在复杂方块图中易搞错。反馈是信号从环节的输出端取出引回到环节的输入端；并联是信号从环节的输入端取出引向③在基本变换规则中指出，比较点可互换，分支点可【例２-3】图２-11(a)所示方块图是互交反馈，等效变换的具体方法是移动比较点a或移动分支点b，正确方法是(b)、(c)图，(d)图为错误方法。图2-11方块图等效变换示例2过程控制系统的数学模型过程控制系统的传递函数过程控制系统的典型方块图如图２-12所示。根据前面的分析，如果知道了组成过程控制系统的各个环节的传递函数，则通过方块图的运算与等效变换，便可求出系统的开环传递函数、闭环传递函数和偏差传递函数。2过程控制系统的数学模型（1）当反馈回路断开后，系统便处于开环状态，其反馈信号Z（s）与偏差信号Ｅ（s）之比，称为系统的开环传递可见，系统开环传递函数等于前向通道传递函数与反馈回路传递函数的乘积。2过程控制系统的数学模型当反馈传递函数Gm（s）＝1时，称系统为单位反馈系统，此时，开环传递函数与当反馈回路接通时，系统便处于闭环状态，其系统的输出变量与输入变量之间的传递函数，称为闭环传递函数。2过程控制系统的数学模型（2）由于设定值是生产过程中的工艺指标，在一定时间内是不变的，即X（s）＝０（设定值的增量为零）。2过程控制系统的数学模型0()()()1()()()()fcvmGsYsFsGsGsGsGs2过程控制系统的数学模型（3）以偏差信号E（ｓ）为输出量，以扰动信号Ｆ（ｓ）为输入量的闭环传递函数，称为定值系统的偏差传递函数。现将图２-12（ｂ）变换成图２-142过程控制系统的数学模型可见，定值系统的偏差主要由外界扰动所引起。因此，式中的负号表明偏差与扰动作用的方向相反（Δｅ＝Δx–Δz＝-Δz），式（２-62）将用于分析定值系统的偏差。0()()()()1()()()()mfcvmGsGsEsFsGsGsGsGs2过程控制系统的数学模型（4）这类系统是把设定值的变化作为系统的输入变量，只考虑X（s）对Y（s）的影响，忽略其他扰动作用的影响［即F（s）＝0］。因此将图２-12（ｂ）变换成图２-15所示的随动系统方块图。2过程控制系统的数学模型00()()()()()1()()()()cvcvmGsGsGsYsXsGsGsGsGs2过程控制系统的数学模型（5）以偏差信号Ｅ（s）为输出量，以设定值Ｘ（s）为输入量的闭环传递函数，称为随动系统的偏差传递函数。现将图２-12（b）变换成图２-16形