2017与《二次函数》有关的中考综合题

九年级数学《二次函数》综合练习题1．（雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．y=﹣x2﹣2x+33+（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．2．（孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．取AB的中点G，连接EG，利用ASA能得到△AGE与△ECF全等；在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF；②过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，∴点F的坐标为F（a，a﹣1）∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，∴a﹣1=﹣a2+a+1，∴a2=2，（负值不合题意，舍去），∴．∴点F的坐标为．3．（铜仁地区）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？y=w•x=（10x+90）x=10x2+90x设前x个月的利润和等于1620万元，10x2+90x=1620即：x2+9x﹣162=0得x=x1=9，x2=﹣18（舍去），答：前9个月的利润和等于16204．（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．（1）y1=y2，请说明a必为奇数；（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．：a=2n+1当a=11时，∵y1≤y2≤y3∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，解得：n≤4，∵n为正整数，∴n=1、2、3、4．假设存在，则BA=BC，如右图所示．过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，∴AD=CE=1．在Rt△ABD与Rt△CBE中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．∴∠ABD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，∴n+1=，∴n=﹣1．∴a为大于2的偶数，存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=﹣1．．（十堰）已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣445=，即：=∴ON=2，∴N（0，﹣2）设直线PQ的解析式为y=kx+b则解得：∴y=﹣x﹣2设Q（m，n）且n＜0，∴n=﹣m﹣2又∵Q（m，n）在y=x2﹣2x﹣3上，∴n=m2﹣2m﹣3∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3解得：m=2或m=﹣∴n=﹣3或n=﹣∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣，﹣）．6．（晋江市）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）当m=3时，点B的坐标为，点E的坐标为；（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．（3）如图，若点E的纵坐标为﹣1，抛物线（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．（3，4）（0，1）；点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°，由折叠的性质可得：DE=BD=OA﹣CD=4﹣1=3，AE=AB=OC=m，如图1，假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由勾股定理可得，则有，在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2即解得…（7分）3）如图2，过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP=PH+EH=DC+EH=2，在Rt△PDE中，由勾股定理可得∴，在Rt△AEF中，，EF=5，AE=m∵AF2+EF2=AE2∴解得，∴，，E（，﹣1）∵∠AFG=∠ABD=90°，∠FAG=∠BAD∴△AFG∽△ABD∴即，解得FG=2，∴EG=EF﹣FG=3∴点G的纵坐标为2，∵∴此抛物线的顶点必在直线上，又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，∴此抛物线的顶点必在EG上，∴﹣1＜10﹣20a＜2，解得故a的取值范围为．7．（济南）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．y=﹣x2﹣x+4．）∵抛物线对称轴为直线x=﹣，∴点A的对称点C的坐标为（﹣3，0），点B的对称点E的坐标为（﹣1，4），∵BC是⊙M的直径，∴点M的坐标为（﹣，2），如图2，过点M作MG⊥FB，则GB=GF，∵M（﹣，2），∴BG=，∴BF=2BG=3，∵点E的坐标为（﹣1，4），∴BE=1，∴EF=BF﹣BE=3﹣1=2．3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．（3）四边形CDPQ的周长有最小值．理由如下：∵BC===5，AC=CO+OA=3+2=5，∴AC=BC，∵BC为⊙M直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∴D为AB中点，∴点D的坐标为（1，2）．作点D关于直线l的对称点D1（1，6），点C向右平移2个单位得到C1（﹣1，0），连接C1D1与直线l交于点P，点P向左平移两个单位得到点Q，四边形CDPQ即为周长最小的四边形．设直线C1D1的函数表达式为y=mx+n，∴，，∴直线C1D1的表达式为y=3x+3，∵yp=4，∴xp=，∴点P的坐标为（，4）；C四边形CDPQ最小=2+2+2．8．（湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．y=x2﹣x﹣2．△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=49．（宁德）如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合（1）直接写出点A、B的坐标：A（6，0）、B（0，﹣8）；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是y=﹣x2+x﹣8；（3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由；（4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值．3）存在．设M（m，﹣m2+m﹣8），则N（m，0），MN=|﹣m2+m﹣8|，NA=6﹣m，又DA=4，CD=8；①若点M在N上方，=，则△AMN∽△ACD；∴=，即m2﹣16m+60=0，解得m=6或m=10．与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符．∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似．②若点M在点N下方，=，则△AMN∽△ACD；∴=，即2m2﹣17m+30=0，解得m=或m=6；当m=时符合条件；∴此时存在点M（，﹣），使△AMN与△ACD相似．综上所述，存在点M（，﹣），使得△AMN与△ACD相似．（4）设P（p，﹣p2+p﹣8），在y=﹣x2+x﹣8中，令y=0，得x=4或x=6；∴≤x≤7分为≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：①如图，当≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H，则OH=p，HA=6﹣p，PH=p2﹣p+8；∴S△ABP=S△OAB﹣S梯形OBPH﹣S△APH=•6•8﹣•（p2﹣p+8）•p﹣•（6﹣p）•（p2﹣p+8）=﹣p2+6p=﹣（p﹣3）2+9∴当≤x＜4时，S△ABP随p的增大而减小；∴当x=时，S△ABP取最大值，且最大值为．②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G；则BH=p，HG=6﹣p，PH=﹣p2+p﹣8+8=﹣p2+p．∴S△ABP=S△BPH+S梯形PHGA﹣S△ABG=•（﹣p2+p）•p+•（﹣p2+p+8）•（6﹣p）﹣•6•8=﹣p2+6p=﹣（p﹣3）2+9∴当4≤x＜6时，S△ABP随p的增大而减小；∴当x=4时，S△ABP取得最大值，且最大值为8．③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H；