【名师伴你行】2014高考数学一轮复习 第二章 函数及其表示课件 新人教A版

§2.1函数及其表示[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•了解构成函数的要素，了解映射的概念．•在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．•了解简单的分段函数，并能简单应用.•函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点．•函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点．•题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现.知识梳理1.函数的有关概念及表示法(1)函数的定义：设A，B是非空的□1__________，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有□2________确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．x的取值范围A叫做函数的□3__________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□4__________.(2)函数的三要素：□5______、□6________和□7________.(3)函数的表示法：表示函数的常用方法：□8_______、□9__________、□10__________.(4)相等函数：如果两个函数的□11__________相同，并且□12__________完全一致，我们就称这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．(5)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的□13__________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的并集，值域是各段值域的并集．.2．映射的概念(1)映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的□14__________.(2)由映射的定义可以看出，映射是□15__________概念的推广，函数是一种特殊的映射．构成函数的两个集合A，B必须是□16__________；而构成映射的两个集合可以是数集、点集或其他集合．答案：□1数集□2唯一□3定义域□4值域□5定义域□6对应法则□7值域□8解析法□9列表法□10图像法□11定义域□12对应法则□13对应法则□14映射□15函数□16非空数集名师微博●一个关系函数与映射的关系．函数是一种特殊的映射，而映射不一定是函数．●三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，才认为两个函数相等．映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.基础自测1.已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是()A．①B．②C．③D．④解析：对于函数①②，M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应，对于函数③，M中的－1,2,4在N中没有象与之对应，故选D.答案：D2．下列各组函数中表示相等函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|与g(x)＝3x3C．f(x)＝x|x|与g(x)＝x2x＞0－x2x＜0D．f(x)＝x2－1x－1与g(t)＝t＋1(t≠1)解析：A中f(x)与g(x)的定义域不同；B中f(x)＝|x|，g(x)＝x，对应法则不同；C中f(x)的定义域R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：D3．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图中可以表示从集合A到集合B的映射的是()A．B.C．D.解析：A、C两选项对应关系表明，当x小于2而充分接近于2时，在B中没有元素与之对应，而B选项对应关系表明，当1＜x＜2时，在B中有两个元素与之对应，均不符合映射的定义．选D.答案：D4．已知函数f(x)＝3x，x≤0，log2x，x＞0，那么ff14的值为()A．9B.19C．－9D．－19解析：ff14＝flog214＝f(－2)＝3－2＝19.答案：B5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为__________；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是__________．解析：f[g(1)]＝f(3)＝1.x123f[g(x)]131g[f(x)]313故f[g(x)]＞g[f(x)]的解为x＝2.答案：12[例1]已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k、A、B.考点一函数与映射的概念解析：(定义法)由对应法则：1→4,2→7,3→10，k→3k＋1，∴a4≠10，a2＋3a＝10.得a＝2，或a＝－5(舍去)，∴a4＝16.又3k＋1＝16，∴k＝5，故A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．方法点睛根据对应关系列出方程组求解．变式训练1(1)给出下列式子：①y＝x；②y＝±x2；③f(x)＝1；④y＝2x，x∈{0,1,2}；⑤y＝±1－x2.其中y是x的函数的是()A．①②③B．①③④C．②⑤D．③④(2)已知f：x→－sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．4个B．5个C．6个D．7个解析：(1)由函数的定义可知，①③④表示y是x的函数．(2)∵A⊆[0,2π]，由－sinx＝0得x＝0，π，2π；由－sinx＝12得x＝7π6，11π6，∴A中最多有5个元素．答案：(1)B(2)B[例2](1)已知f(x－3)＝x2＋1，求f(x)；(2)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x＋1)；(3)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．(4)已知f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，x∈(－1,1)，求f(x)．考点二求函数的解析式解析：(1)方法一(换元法)，设x－3＝t，则x＝t＋3，∴f(x－3)＝f(t)＝(t＋3)2＋1＝t2＋6t＋10.∴f(x)＝x2＋6x＋10.方法二(配凑法)，∵f(x－3)＝x2＋1＝x2－6x＋9＋6x－8＝(x－3)2＋6x－8＝(x－3)2＋6(x－3)＋10，∴f(x)＝x2＋6x＋10.(2)方法一(换元法)，设x＋1x＝t(t≥2或t≤－2)，则x＋1x2＝t2，∴x2＋1x2＝t2－2.∴f(t)＝t2－2，∴f(x)＝x2－2.∴f(x＋1)＝(x＋1)2－2＝x2＋2x＋1－2＝x2＋2x－1(x≥1或x≤－3)．方法二(配凑法)，∵fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，∴f(x)＝x2－2，故f(x＋1)＝(x＋1)2－2＝x2＋2x－1(x≥1或x≤－3)．(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，故设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b.又∵f[f(x)]＝4x＋3，∴k2x＋kb＋b＝4x＋3，故k2＝4，kb＋b＝3，解得k＝2，b＝1，或k＝－2，b＝－3.∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.(4)(方程组法)以变量－x代替变量x，于是有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)，得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)(－1＜x＜1)．方法点睛求函数解析式的方法主要有：①代入法；②换元法；③待定系数法；④解函数方程等．变式训练2(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f1x＝2x＋1，求f(x)．解析：(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝12，b＝12.因此f(x)＝12x2＋12x.(2)由已知得fx＋2f1x＝2x＋1，f1x＋2fx＝2x＋1，消去f1x，得f(x)＝4＋x－2x23x.[例3](1)(2011·辽宁)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)考点三分段函数(2)(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______．解析：(1)f(x)≤2⇔x≤1，21－x≤2或x＞1，1－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.(2)①当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－32，不符合题意，舍去．②当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综合①，②知a的值为－34.答案：(1)D(2)－34方法点睛分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例(1)中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．变式训练3(1)已知f(x)＝2xx＞0，fx＋1x≤0，则f43＋f－43的值等于()A．－2B．4C．2D．－4(2)设函数f(x)＝x2＋bx＋cx≤0，2x＞0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．1B．2C．3D．4(3)已知函数f(x)＝x2＋1x≥0，1x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是__________．解析：(1)∵43＞0，∴f43＝2×43＝83.∵－43＜0，∴f－43＝f－43＋1＝f－13＝f－13＋1＝f23＝43.∴f43＋f－43＝123＝4.(2)若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴－42＋b·－4＋c＝c，－22＋b·－2＋c＝－2，解得b＝4，c＝2.∴f(x)＝x2＋4x＋2x≤0，2x＞0.当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，解得x＝－2，或x＝－1；当x＞0时，由f(x)＝x，得x＝2.∴方程f(x)＝x有3个解．(3)当x＜－1时有1＞1，∴无解．当－1≤x＜0时，有(1－x2)2＋1＞1，∴x≠±1.∴－1＜x＜0.当0≤x≤1时，有(1－x2)2＋1＞(2x)2＋1，∴0≤x＜2－1.当x＞1时有1＞(2x)2＋1，∴无解．综上，x的取值范围是－1＜x＜2－1.答案：(1)B(2)C(3)(－1，2－1)[例4]某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()考点四函数的表示法A．y＝x10B．y＝