概率论和数理统计期末考试试题

《概率论和数理统计》期末试卷一、选择题(本大题分5小题,每小题3分,共15分)(1)设A、B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则必有(A)0)(ABP(B))()(APBAP(C)0)(BAP(D))()()(BPAPABP(2)某人花钱买了CBA、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的,中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(CpBPAp如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(A)0.05（B）0.06(C)0.07（D）0.08(3)),4,(~2NX),5,(~2NY}5{},4{21YPpXPp，则(A)对任意实数21,pp（B）对任意实数21,pp(C)只对的个别值，才有21pp（D）对任意实数，都有21pp(4)设随机变量X的密度函数为)(xf，且),()(xfxf)(xF是X的分布函数，则对任意实数a成立的是（A）adxxfaF0)(1)(（B）adxxfaF0)(21)(（C）)()(aFaF（D）1)(2)(aFaF(5)二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则X+Y与X-Y不相关的充要条件为（A）EYEX(B)2222][][EYEYEXEX(C)22EYEX(D)2222][][EYEYEXEX二、填空题(本大题5小题,每小题4分,共20分)(1)4.0)(AP,3.0)(BP,4.0)(BAP,则___________)(BAP.(2)设随机变量X有密度其它010,4)(3xxxf,则使)()(aXPaXP的常数a=(3)设随机变量),2(~2NX，若3.0}40{XP,则}0{XP(4)设两个相互独立的随机变量X和Y均服从)51,1(N，如果随机变量X-aY+2满足条件])2[()2(2aYXEaYXD，则a=__________.(5)已知X～),(pnB,且8)(XE,8.4)(XD,则n=__________.三、解答题（共65分）1、(10分)某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求：(1)全厂产品的次品率(2)若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？2、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为　　　，　其它040,20),6(),(yxyxkyxf求：（1）常数k（2）)4(YXP3、(10分)设X与Y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为.,0;10,1)(其它xxfX.0,0;0,)(yyeyfyY求:随机变量YXZ的概率密度函数.4、（8分）设随机变量X具有概率密度函数其他，,0;40,8)(xxxfX求：随机变量1XeY的概率密度函数.5、（8分）设随机变量X的概率密度为：xexfx21)(，求:X的分布函数．6、(9分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？7、(10分)设)1,0(~),1,0(~NYNX，且相互独立1,1YXVYXU，求:（1）分别求U,V的概率密度函数；（2）U,V的相关系数UV；………………………………装………………………………订…………………………………线………………………………《概率论与数理统计》试卷标准答案和评分标准一、选择题（5×3分）题号12345答案CBABB二、填空题（5×4分）1、0.12、4213、0.354、35、20三、计算题（65分）1、解：A为事件“生产的产品是次品”，B1为事件“产品是甲厂生产的”，B2为事件“产品是乙厂生产的”，B3为事件“产品是丙厂生产的”易见的一个划分是321,,BBB-----------------------------------------------------------------------------------2分(1)由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131iiiiiBAPBPABPAP-------------------5分(2)由Bayes公式有：69250345.0%5%25)()()()()(31111iiiBPBAPBPBAPABP-----------------------------------------------------10分2、解：（1）由于1),(dxdyyxf，所以1)6(4020dyyxkdx，可得241k----------------------------------------------5分（2）98)16621(241)6(2412204020dxxxdyyxdxx----------------------------------------------------------10分3、解：由卷积公式得dxxzxfzfZ),()(，又因为X与Y相互独立，所以dxxzfxfzfYXZ)()()(-----------------------------------------------------------3分当0z时，;0)()()(dxxzfxfzfYXZ-----------------------------------------------------------------------5分当10z时，;1)()()(0)(zzxzYXZedxedxxzfxfzf------------------------------------------------------7分当1z时，);1()()()(10)(eedxedxxzfxfzfzxzYXZ所以;1)1(10100)()()(zeezezdxxzfxfzfzzYXZ-----------------------------------------------------------10分4、解：1XeY的分布函数).(yFY)1ln()())1ln(()1()()(yXXYdxxfyXPyePyYPyF-----------------------------------------------------2分.1,1;10),1(ln161;0,0442yeeyyy-----------------------------------------------------------------------6分于是Y的概率密度函数.,0;10,)1(8)1ln()()(4其他eyyyyFdydyfYY--------------------------------------------------8分5、解：xdttfxF)()(当txtedtexFx2121)(,0------------------------------------------------------------------------------------3分当txttedtedtexFx211][21)(,000----------------------------------------------------------------------8分6、解由条件知)2.0,5(~BX，即5,,1,0,8.02.05}{5kkkXPkk------------------------------------------------------3分3,2;2,0;1,5;0,10)(XXXXXgY-----------------------------------------------------------------------------6分)(216.5057.02410.05328.010}]5{}4{}3{[2}2{0}1{5}0{10}{)()(50万元XPXPXPXPXPXPkXPkgXEgEYk-----------------------------------------------------------9分7、解：（1）因为)1,0(~),1,0(~NYNX，且相互独立，所以1,1YXVYXU都服从正态分布，11)1(EEYEXYXEEU2)1(DYDXYXDDU--------------------------------------------------------------3分所以)2,1(~NU，所以4241)(uUeuf同理11)1(EEYEXYXEEV2)1(DYDXYXDDU所以)2,1(~NV，所以4241)(uVeuf-----------------------------------------------------------------5分（2）)12()1)(1(22XYXEYXYXEEUV12))(()(122222EXEYDYEXDXEXEYEX1-------------------------------------------8分所以0DVDUEUEVEUVUV--------------------------------------------------------------10分