概率论基础ch2.3

2020/2/12数科院Ch2.3-1Ch2：条件概率与统计独立性§3伯努利试验与直线上的随机游动一、伯努利概型三、直线上的随机游动二、伯努利概型中的一些分布2020/2/12数科院Ch2.3-2一、伯努利概型如果随机试验E只有两个可能的结果，如:•掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”；•考察一条线路，只有“通”与“不通”；•传递一个信号，只有“正确”与“错误”；•播下一颗种子，了解它“发芽”与否；•观察一台机器“开动”与否…这种随机试验称为伯努利(Bernoulli)试验.伯努利试验2020/2/12数科院Ch2.3-3•有时试验的可能结果虽有多种，但如果只考虑某事件A发生与否，也可作为伯努利试验.•例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果只考虑合格与否，就是伯努利试验.•此时，事件域可取为：,,,AAF,,,1EAAPA=pPA=qp0qp+q=若随机试验的事件域为：，其中，，且，0,.F则称E为Bernoulli试验．2020/2/12数科院Ch2.3-4n重伯努利试验（记作En）：n次独立重复的伯努利试验.n重伯努利试验n重伯努利试验的特点:每次试验最多出现两个可能结果之一A在每次试验种出现的概率p保持不变各次试验相互独立共进行了n次试验2020/2/12数科院Ch2.3-5n重伯努利试验的样本空间：pqppAAAAPnn...)...(121121121(,,...,,),...nnnnAAAAAAAAA样本点简记为，其概率由的概率与独立性可得出：12|,,,niiiiAAiA其中或，表示第次试验中事件发生与否。显然，是有限样本空间。2020/2/12数科院Ch2.3-6可列重伯努利试验（记作E∞）：样本点w=(w1,w2,...,wn,...)样本点个数不可列,无限样本空间。可列重伯努利试验2020/2/12数科院Ch2.3-7二伯努利概型中的一些分布只进行一次伯努利试验•概率分布为:,,0,0,1.PApPAqpqpq1.伯努利分布•这种概率分布称为伯努利分布•伯努利概型中最简单的情形•也称两点分布2020/2/12数科院Ch2.3-8例1200件产品中,有190件合格品,10件次品,现从中随机抽取一件,令A表示取得次品，则：此为两点分布.10190,.200200PAPA“掷硬币”、“婴儿性别”等试验均为两点分布.2020/2/12数科院Ch2.3-92.二项分布;,,10,1,2,,kknknbknpCpqqpkn在n重Bernoulli试验中,事件A恰好发生k次的概率记为：，则;,bknp1)(),;(00nknknkknnkqpqpCpnkb称b(k;n,p)决定的概率分布为二项分布。2020/2/12数科院Ch2.3-10例2、设一批产品中有a件是次品,b件是正品.现有放回地从中抽取n件产品.求:事件A={n件产品中恰有k件次品}的概率其中，k=0,1,2,…,n.paab解:属于n重伯努利分布,且：knkknknkknbabbaaCqpCpnkb)()(),;(2020/2/12数科院Ch2.3-11例3:某病的自然痊愈率为0.25，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给10个病人服用，如果这10人中至少有4个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效．求：⑴新药有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通过试验却被否定的概率．⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率．2020/2/12数科院Ch2.3-12分析：此为10重伯努利试验，令A—痊愈（2）药物本身无效时，（1）药物本来有效的情况下，0.35,10pPAn331011000;,0.3510.35kkkkkpbknpC令k—痊愈的人数，“被否定”=“k=0,1,2,3”0.25,10,4,5,10.pPAnk1024;10,0.25kpbk2020/2/12数科院Ch2.3-13课堂练习：设一批产品中有30％的产品是一级品.现对该产品中进行重复抽样检查,共取5个样品。求：(1)取出的5个样品中恰有2个一级品的概率(2)取出的5个样品中至少有2个一级品的概率(1)解:22352;5,0.30.3(10.3)0.3087bC(2)A:“5个样品中至少有2个一级品”511555200();5,0.31()10.30.70.47178iiiiiiPAbiPiC2020/2/12数科院Ch2.3-141121;(...),1,2,kkkgkpPAAAAqpk在伯努利试验中，“事件A在第k次才首次出现”的概率,记为：，显然：(;)gkp(;)gkp称由决定的概率分布为几何分布。111);(111qppqpkgkkk3.几何分布2020/2/12数科院Ch2.3-15例4、一个人要开门，共有n把钥匙，其中仅有一把钥匙能开门，这人在第s次试开时才首次成功的概率是多少分析：可列重伯努利试验p=1/n第s次才首次成功的概率：g(s;1/n)=1/n[(n-1)/n]s-12020/2/12数科院Ch2.3-16•相继的伯努利试验中，要多长时间才会出现第r次成功•记Ck={第r次成功发生在第k次}•记f(k;r,p)=P(Ck)•Ck={前k-1次成功r-1次,且第k次成功}，则：rkrrkrkrrkkqpCpqpCCP11111)(11(;,),,1,rrkrkfkrpCpqkrr即：11(;,)1rrkrkkrkrfkrpCpq显然：称f(k;r,p)为帕斯卡分布，当r=1时,即为几何分布4.帕斯卡分布2020/2/12数科院Ch2.3-17例5、分赌注问题甲、乙两赌徒按某种方式下注赌博，先胜t局者将赢得全部赌注，但进行到甲胜r局、乙胜s局(rt,st)时，因故不得不中止。试问如何分配这些赌注才公平合理？建议：1.用r:s来分配2.用最终甲乙取胜的概率P甲:P乙来分配2020/2/12数科院Ch2.3-18分析：•甲若想获胜，需要再胜n=t-r局•乙若想获胜，需要再胜m=t-s局•记A={每局中甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q•甲获胜，当且仅当：甲再胜n局时，乙再胜的局数km，即A的第n次成功发生在第n+k次(km)试验：1011mkknnknqpCP甲2020/2/12数科院Ch2.3-19•甲若想获胜,在乙再胜m局时,甲胜的局数k=n,即Ac的第m次成功发生在m+k次(k=n)试验：nkmkmkmqpCP11甲•显然:再赌n+m-1局可以决定胜负•甲若想获胜,必须在n+m-1局中胜n次，由二项分布:111nmkknmknmknPCpq甲2020/2/12数科院Ch2.3-20例6、巴拿赫火柴问题：两盒火柴，各装n根,每次抽烟时任取一盒用一根，求发现一盒用光时，另一盒有k根的概率。•看作p=1/2的伯努利试验。一盒取过n+1次而另一盒取过n-k次：2121121;1,22nknnkfnknC•由对称性，所求概率为：222nknnkpC2020/2/12数科院Ch2.3-215推广的伯努利试验与多项分布•二项分布的推广n次重复独立试验每次实验有多个可能结果•记每次实验的所有可能结果为：12,,,.rAAA12,1,2,,.0,1.iiirPApirpppp令且：2020/2/12数科院Ch2.3-2212rrnAkAkAk12在次试验中:出现次,出现次，,出现次的概率为：12121212!!!!.rrkkkrrnppppkkkkkkn其中：•由此概率确定的分布称为多项分布r=2时，退化为二项分布例：JCP85例52020/2/12数科院Ch2.3-23三、直线上的随机游走0()1xtaapp设轴上有一个质点，假定它只能在整数点上停顿，在初始时刻时，它在初始位置处为整数，以后每隔单位时间，它总是受到一个外力的随机作用，使位置发生变化，分别以概率及概率向坐标轴正向或负向移动一个单位，质点的这种运动称为直线上的随机游动。无限制随机游动有吸收壁随机游动分类称为对称随机游动时当pp12020/2/12数科院Ch2.3-24无限制随机游动假定质点的初始位置在原点。nnStnSknk以记质点在时刻时的位置，则意即“质点在前次游动中向右的次数比向左的次数恰好多次”nxnynSk设表示质点在前次游动中向右移动的次数，在前次游动中向左移动的次数。于是发生，则有xynxyk,22nknkxyxnk，由是整数，所以与必须同奇偶。2020/2/12数科院Ch2.3-25nSk由二项分布，发生的概率为：2220nknknknnnnkPSkCpqnkPSk当与同奇偶时，当与奇偶相异时，2020/2/12数科院Ch2.3-26两端带有吸收壁的随机游动111,2,,1nnnqpqqqnab，2020/2/12数科院Ch2.3-2711nnnnpqqqqq1,,nnncqqrqp令则：1,1,2,,1.nncrcnab111,12,nnrpqcc即对称随机游动,nanaqqabab2020/2/12数科院Ch2.3-28212021,,nnnnrpqcrcrcrc111010000011nnnnknkkkkkkrqqqqcrccr0010,1,11ababrqqcr11nnabrqr2020/2/12数科院Ch2.3-29特别有baabaaapqpqrrq1111注意对该式令用洛比达法则求极限也可以获得qpbaaqa2020/2/12数科院Ch2.3-301,11aaabaababpqqqpppqppqqp2020/2/12数科院Ch2.3-31例7、赌徒输光问题甲乙赌本分别为a元及b元，每局赌注为1元，甲获胜的概率为p，试求甲输光的概率。分析：可看成两端带有吸收壁的随机游动模型。以Pa记甲从a出发而在0点被吸收（赌本输光），赢一局看成向右走一步，输一局看成向左走一步，则：111aaabaababpqqpqpppqqp注解：若a＜＜b，则不管甲赢一局的概率是多少，都终将输光。2020/2/12数科院Ch2.3-32平面上的随机游动一质点从平面上某点出发，等可能地向上下左右方向移动，每次移动的距离为1，求经过2n次移动后回到出发点的概率分析：从某点出发，向上下左右四个方向移动的概率均为1/4，可以归结为多项分布的问题。若要在2n次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数(k)与向右移动的次数应该相等，向上移动的次数(m)与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为2n(k+m=n)。因此，所求概率为：2020/2/12数科院Ch2.3-3322222202220222202!14!!2!14!!2!1!4!!!221144nkmnnnknnknnnknpkmnknknnknknnnnnkn2020/2/12数科院Ch2.3-34No7作业P101习题二29343545（选做