【苏教版数学】步步高2012版大一轮复习课件：2.4 指数与指数函数

☆星火益佰☆精品课件§2.4指数与指数函数基础知识自主学习要点梳理1．根式(1)根式的概念如果一个实数x满足xn＝a(n＞1且n∈N*)，那么称x为a的n次方根．也就是，若xn＝a，则x叫做，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做，这里n叫做，a叫做．n次方根根式被开方数根指数a的(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示．正负两个n次方根可以合写为(a＞0)．③(na)n＝.④当n为奇数时，nan＝；当n为偶数时，nan＝|a|＝.⑤负数没有偶次方根．nana-na±naaaa(a≥0)－a(a＜0)2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：an＝a·a·…·a(n∈N*)．②零指数幂：a0＝(a≠0)．③负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)．④正分数指数幂：＝(a0，m、n∈N*，且n1)．⑤负分数指数幂：＝＝(a0，m、n∈N*，且n1)．⑥0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．11apnamnmanmanma1nma10没有意义(2)有理数指数幂的性质①aras＝(a0，r、s∈Q)；②(ar)s＝(a0，r、s∈Q)；③(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．ar＋sarsarbr3．指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域值域(1)过定点性质(2)当x0时，；x0时，(3)当x0时，；x0时，(4)在(－∞，＋∞)上是(5)在(－∞，＋∞)上是R(0，＋∞)(0,1)y10y10y1y1增函数减函数[难点正本疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1和a1进行分类讨论．基础自测1．用分数指数幂表示下列各式．(1)3x2＝________；(2)4a＋b3＝________(a＋b0)；(3)m3m＝________.32x25m43)(ba2．(2009·江苏)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为________．解析∵0a＝5－121，∴函数f(x)＝ax在R上是减函数．又∵f(m)f(n)，∴mn.mn3．已知函数f(x)＝ax＋b(a0且a≠1)的图象如图所示，则a＋b的值是________．解析∵a2＋b＝a0＋b＝－3，∴a＝b＝－4，∴a＋b＝－2.点评结合图形，构建方程组，用方程的思想求解．－24．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是.解析方法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，且在第一象限内，底数越小，图象越靠近x轴．故可知ba1dc.方法二令x＝1，由图象知c1d1a1b1，∴ba1dc.ba1dc5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)=.解析∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.点评本题体现了方程的思想，整体代换的思想，又体现了幂的有关运算法则的运用．7题型分类深度剖析题型一指数式与根式的计算例1(1)15＋2－(3－1)0－9－45；思维启迪先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算．解(1)原式＝5－2－1－5－22＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a.)65613()31216)(21322)(2(bababa653121612132ba探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．变式训练1计算下列各式：解(1)原式(2)令则原式＝m4－8mn3m2＋2mn＋4n2÷1－2nm·m＝mm3－8n3m2＋2mn＋4n2·m2m－2n＝m3m－2nm2＋2mn＋4n2m2＋2mn＋4n2m－2n＝m3＝a..)()()()()(.)(.332332313432634250031321428232322867511aabbababaa.)()()()(110274232322213231621314141331,31,31nbma题型二指数函数的图象及应用例2(1)函数y＝a2010－x＋2010(a0且a≠1)恒过点__________．(2)方程2x＝2－x的解的个数为________．解析(1)∵a0＝1，∴该函数的图象过点(2010,2011)．(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．(2010,2011)1探究提高(1)指数函数图象经过定点的实质是利用了a0＝1(a≠0)，故应令幂指数等于0求定点的坐标．(2)将方程解的问题转化为两函数图象的交点问题，体现了数形结合思想的应用．变式训练2如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC平行于y轴，求点A的坐标．解设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AC∥y轴，∴x1＝a，y1＝＝2a，即A(a,2a)，又BC∥x轴．∴y2＝4a，y2＝＝4a.∴x2＝2a，即B(2a,4a)．又∵点O、A、B共线，∴2aa＝4a2a，∴2a＝2，即a＝1.∴A的坐标为(1,2)．12x22x题型三指数函数的性质例3设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．思维启迪换元令t＝ax，利用二次函数和指数函数的单调性来研究函数的单调性，构建方程获解．解令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．①当0a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13.又因为a0，所以a＝13.②当a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，此时f(t)在1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或3.探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合．本题利用换元法将原函数化为二次函数．结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解．由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解．变式训练3要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－∞，1]上y0恒成立，求a的取值范围．解在x∈(－∞，1]上，1＋2x＋4xa0恒成立等价于a－1＋2x4x恒成立．又－1＋2x4x＝－122x－12x＝－12x＋122＋14.∵x∈(－∞，1]，∴12x∈12，＋∞，∴当12x取12时，－1＋2x4x的最大值为－34.∴a－34.思想与方法1．方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(14分)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0恒成立，求k的取值范围．审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)．(2)可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式．规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝－2x＋12x＋1＋a.[4分]又由f(1)＝－f(－1)知－2＋14＋a＝－－12＋11＋a，解得a＝2.[7分](2)方法一由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2，又由题设条件得即[9分]整理得，因底数21，故3t2－2t－k0.[12分]上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k0，解得k－13.[14分],0221222121221222222ktkttttt.))(())((0122212222222212212ktttttkt12232ktt方法二由(1)知f(x)＝－2x＋12x＋1＋2＝－12＋12x＋1，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价于f(t2－2t)－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t－2t2＋k.[12分]即对一切t∈R有3t2－2t－k0，而Δ＝4＋12k0，解得k－13.[14分]批阅笔记(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t2－2t)＋f(2t2－k)0等价转化为：t2－2t－2t2＋k恒成立．这个转化考生易出错．其次，不等式t2－2t－2t2＋k恒成立，即对一切t∈R有3t2－2t－k0，也可以这样做：k3t2－2t，t∈R，只要k比3t2－2t的最小值小即可，而3t2－2t的最小值为－13，所以k－13.思想方法感悟提高方法与技巧1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0a1时，x→+∞，y→0；当a1时，x→-∞,y→0;当a1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快；当0a1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.2．画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、(0,1)、－1，1a.3．在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解．失误与防范1．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a1来研究．2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．返回