新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教B版必修5

数学必修5·人教B版新课标导学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理1课前自主学习2课堂典例讲练3课时作业课前自主学习“无限风光在险峰”，在充满象征色彩的诗意里，对险峰的慨叹跃然纸上，成为千古之佳句．对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢？能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗？在本节中，我们将学习正弦定理，借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述的实际问题．1．正弦定理在一个三角形中，各_______的长和它所对角的________的________相等，即________＝________＝________.2．正弦定理的变形公式边正弦比asinAbsinBcsinC(1)a＝bsinAsinB＝________，b＝asinBsinA＝________，c＝asinCsinA＝________.csinAsinCcsinBsinCbsinCsinB(2)sinA＝asinBb＝________，sinB＝bsinAa＝________，sinC＝csinAa＝________.(3)a︰b︰c＝_______________________．(4)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(R为△ABC外接圆的半径)asinCcbsinCccsinBbsinA︰sinB︰sinC(5)角化边公式：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(6)asinA＝bsinB＝csinC＝____________________＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．3．解三角形一般地，我们把三角形的三个________和它的对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的__________求__________的过程叫做解三角形．a＋b＋csinA＋sinB＋sinC角几个元素其他元素1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C＝a︰b︰c.其中正确的个数是导学号27542000()A．1B．2C．3D．4A[解析]因为正弦定理适用于任意三角形，故①、②不正确；由正弦定理知asinA＝bsinB＝csinC＝2R，三角形确定，则其外接圆半径R为定值，故③正确；④显然不正确，故选A．2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，B＝60°，则sinA的值为导学号27542001()A．33B．32C．63D．62A[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝4sin60°6＝23×32＝33.3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是导学号27542002()A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°B．a＝30，b＝25，∠A＝150°C．a＝7，b＝8，∠A＝98°D．a＝14，b＝16，∠A＝45°D[解析]对于A项，∵∠A＝45°，∠C＝70°，∴∠B＝65°.又b＝10，∴△ABC只有一解；对于B项，∵ab，∴∠A∠B，又∠A＝150°，∴只有一解；对于C项，∵ab，∴∠A∠B，而∠A＝98°，∴无解；对于D项，sinB＝bsinAa＝16×sin45°14＝4271，故bsinAab，∴有两解．4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝22，则c＝________.导学号27542003[解析]由已知，得C＝180°－105°－45°＝30°.∵bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝22sin30°sin45°＝22×1222＝2.25．(2016·全国卷Ⅱ文，15)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.导学号27542004[解析]由条件可得sinA＝35，sinC＝1213，从而有sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝6365.由正弦定理asinA＝bsinB，可知b＝asinBsinA＝2113.21136．在△ABC中，A＝60°，sinB＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小.导学号27542005[解析]∵sinB＝12，∴B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得，C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．由正弦定理，得bsinB＝csinC＝asinA.故b＝sinBsinA·a＝sin30°sin60°×3＝3，c＝sinCsinA·a＝sin90°sin60°×3＝23.课堂典例讲练命题方向1⇨已知两角和任一边，解三角形在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，a＝2，解此三角形.导学号27542006[分析]利用A＋B＋C＝180°及正弦定理可解．[解析]根据三角形内角和定理知：C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.根据正弦定理，得b＝asinBsinA＝2sin30°sin45°＝2×1222＝2，c＝asinCsinA＝2sin105°sin45°＝2sin75°sin45°＝2×6＋2422＝3＋1.[点评]已知三角形的两角和任意一边，这个三角形是确定的．由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．〔跟踪练习1〕导学号27542007(2015·安徽文，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.[解析]∵∠A＝75°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，即6sin60°＝ACsin45°，∴AC＝6×2232＝2.2命题方向2⇨已知两边和其中一边的对角，解三角形在△ABC中，解三角形：导学号27542008(1)b＝4，c＝8，B＝30°；(2)a＝2，b＝2，A＝30°；(3)a＝5，b＝2，B＝120°.[分析]已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形会出现一解、两解、无解的情况．[解析](1)由正弦定理，得sinC＝c·sinBb＝8sin30°4＝1.∵30°C150°，∴C＝90°.从而A＝180°－(B＋C)＝60°.a＝c2－b2＝43.(2)由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝2sin30°2＝22，∵a＜b，∴B＞A＝30°，∴B为锐角或钝角(或∵bsinA＜a＜b，∴B为锐角或钝角)，∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，又csinC＝asinA，∴c＝asinCsinA＝2sin105°sin30°＝2sin75°sin30°＝2×6＋2412＝3＋1.当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋135°)＝15°，∴c＝asinCsinA＝2sin15°sin30°＝2×6－2412＝3－1.∴B＝45°，C＝105°，c＝3＋1或B＝135°，C＝15°，c＝3－1.(3)解法一：由asinA＝bsinB得，sinA＝asinBb＝5sin120°2＝5×322＝534＞1，∴A不存在，∴此题无解．解法二：∵a＝5，b＝2，B＝120°，∵b＜a，∴A＞B＝120°，∴A＋B＞240°与A＋B＋C＝180°矛盾．∴本题无解．解法三：∵a＝5，b＝2，B＝120°，∴asinB＝5sin120°＝532，又∵b＜asinB，∴此题无解．[点评]已知三角形两边及一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况，要注意讨论．〔跟踪练习2〕导学号27542009已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°D[解析]由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝43×sin30°4＝32，又∵ba，∴BA，∴B＝60°或120°.命题方向3⇨三角形形状的判断在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，若acosA＝bcosB，则△ABC一定是导学号27542010()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形D[分析]判断三角形形状通常从三角形内角的关系确定，也可以从三角形三边关系确定．本题由条件式可考虑应用正弦定理把边化为角，寻找三角形角与角之间的关系，然后予以判定．[解析]由正弦定理，得ab＝sinAsinB.又acosA＝bcosB，即ab＝cosBcosA，∴sinAsinB＝cosBcosA，即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．∴2A＝2B或2A＝π－2B．∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故选D．[点评]已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．在正弦定理的推广中，a＝2RsinA、b＝2RsinB、c＝2RsinC是化边为角的主要工具．〔跟踪练习3〕导学号27542011在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．[解析]由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理，得a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形，且A＝90°.∴B＋C＝90°，∴sinB＝cosC．由sinA＝2sinBcosC，得1＝2sin2B，∴sinB＝22，∴B＝45°，∴C＝B＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，c＝6＋2，∠C＝30°，求a＋b的最大值.导学号27542012[错解]∵∠C＝30°，∴∠A＋∠B＝150°，即∠B＝150°－∠A．由正弦定理，得asinA＝bsin150°－A＝6＋2sin30°.又因为sinA≤1，sin(150°－A)≤1，所以a＋b≤2(6＋2)＋2(6＋2)＝4(6＋2)．故a＋b的最大值为4(6＋2)．[辨析]上述解法错误的原因是未弄清∠A与150°－∠A之间的关系，这里∠A与150°－∠A是相互制约的，不是相互独立的量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的．[正解]∵∠C＝30°，∴∠A＋∠B＝150°.由正弦定理，得asinA＝bsin150°－A＝6＋2sin30°.因此，a＋b＝2(6＋2)·[sinA＋sin(150°－A)]＝(8＋43)cos(A－75°)≤8＋43.故a＋b的最大值为8＋43.