未定式的极限及Taylor公式(1).ppt

(1)0lim(,0)xxxababx(2)arctan2lim1sinxxxEXE2lncoslimlncos5xxx1ln0lim(cot)xxx思考：L’Hospital法则的条件不成立时，0()lim()xxfxgx是否一定不存在09-10-2作业讲评6表扬：A有进步周祁02-3苏洁张海02-4顾敏曹旻灿孙小刚林元载鲁求辉杨奕峰02-5施杨梅王丹李少芳李婷婷杨德石陈飞翔王海锋王明绍胡长国02-6魏轶凡04；唐思磊12；黄燕燕14杨勇19；吴双堂21；王丰26主要问题：分段函数求导，分段点处该怎样求导全对：02-5王鹏生孙小刚林元载02-6王丹杨德石胡长国12唐思磊；19杨勇；21吴双堂；26王丰结论：设()fx在()Na连续，在()oNa可导，且lim()xafxk（有限数）．则()fx在点a处可导，且()fak．仅是充分条件．当lim()xafx不存在时，()fa仍可能存在反例：21sin,0,()0,0,xxfxxx在0x处P9031(7)32ln(1),,xttytt求22dydx解：dydydydtdtdxdxdtdxdt232(32)(1)111ttttt，221dydydddydxdxdxdxdxdtdt65(1)(65)111ttttt－――Leibniz公式(n)=uv()()()()00nnknkkiininnkiCuvCuv或P9032(3)21()2fxxx，求()()nfx解：111()(2)(1)12fxxxxx()()()011()()()12nnknkknkfxCxx解：()()()011()()()12nnknkknkfxCxx()11!()(1)1(1)nnnnxx(1)10()!!(1)(1)(1)(2)nknkknnkkknkkCxx1(1)0!()!(1)(2)(1)nknnknkkknkCxx()()()111()312nnnfxxx()11!()(1)1(1)nnnnxx111(1)!(1)!3(1)(2)nnnnnnxx解：1111()()(2)(1)312fxxxxx.)()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfxxxxxx若极限)()(limxgxfxx仍为型00，而极限)()(limxgxfxx存在，则在运用洛必达法则求极限的过程中，可结合代数运算、等价无穷小替换、有非零的极限因子先提出“算值”等方法将运算简化．(1)0lim(,0)xxxababx(2)arctan2lim1sinxxxEXE例9求10(1)limxxxex法一用对数求导法求1(1)xx1(1)xyx1lnln(1)yxx211ln(1)(1)yxyxxx121(1)ln(1)(1)1xxxxyxxx法二：xexxx10)1(limxeexxx)1ln(10lim2)1ln(0)1ln(1limxxxxexxx)1()1ln()1()1(lim210xxxxxxxx20010)1ln()1(lim11lim)1(limxxxxxxxxxx][lim)1ln(000xxxe有非零的极限因子应及时提出“算值”！20)1ln()1(limxxxxexxxex21)1ln(1lim000.2)1ln(lim20exxex10(1)lim.2xxxeex思考：()fx二阶可导，证20()()2()()lim()xfxxfxxfxfxx．000()()lim2xfxxfxxx().fx思考：()fx二阶可导，证20()()2()()lim()xfxxfxxfxfxx．Proof.右端0001lim()()2xfxxfxx0lim()xfxx？0lim()xfxx？(1)lnlimxxx（0）；(2)limxxxa（0,1,0aa）．2）“”型例10求(2)lim0xxxa（0,1aa）．(1)lnlim0xxx（0）结论：x时，lnxxxa（0,0,1aa）．EXE2lncoslimlncos5xxx．3）其它类型的未定式例11(1)0limlnxxx；“0”(2)lim1xxxeexx；“”(3)sin0limtanxxx．“00”设(1)设(),()fxgx在00(,)xx内可导，且0)(xg；(2)00lim()lim()0xxxxfxgx；(3)0()lim()xxfxAgx（A为常数或）．0()lim()xxfxgx＝0()lim()xxfxAgx（A为常数或）．Thm5（L’Hospital法则）则L’Hospital法则的条件(3)仅是充分条件，非必要．即当0()lim()xxfxgx不存在（振荡）时，极限0()lim()xxfxgx仍可能存在．L’Hospital法则来求极限，一定要注意适用的条件．Note：(2)并不是所有的未定式都可以用例12求21lim(tan)nnnn（Nn）．分析：令21()(tan)nfnnn，因n是离散变量，)(nf无导数，故不能直接使用L’Hospital法则求极限．解：221101tanlim(tan)limuxuxxtuxxu令tan3tn1a0tanlim1uuuuuutuuu故312)1tan(limennnn．∴2131lim(tan)xxxex，Note：当)(limxfx不存在时，不能断定Anfn)(lim不存在，这时应该用其他方法求极限．而2232200000tansec1tan1limlimlim333uuuuuuuuuu三、Taylor（泰勒）公式Q：如何用一个多项式表示函数)(xf？提出问题：若)(xf在(,)ab内具有n阶导数，(,)xab，能否用一个关于)(xx的多项式)()()()(221nnnxxaxxaxxaaxP①来近似表示)(xf，且要求).)(()()(nnxxoxPxf假设)()(,),()(),()()()(xfxPxfxPxfxPnnnnn②)()()()(221nnnxxaxxaxxaaxP①来近似表示()fx，且要求0()()(())nnfxPxoxx．)(0xfa，)(1xfa，!2)(2xfa，，!)()(nxfann．∴2)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxPnnnxxnxf)(!)()(③称为)(xf在0xx处的n阶Taylor公式()()()()[()()()()]!nnnfxRxfxfxfxxxxxn记)()()(xPxfxRnn，即―――余项要求0()()(())nnfxPxoxx．0)(xRn，故xx时，))(()(nnxxoxR.④――Peano（皮亚诺）余项)()()(xPxfxRnn在),(ba内具有直到n阶的导数，且验证：0()(())nnRxoxx即000()lim()nnxxRxxx．()()()()[()()()()]!nnnfxRxfxfxfxxxxxn()(),()(),nnPxfxPxfx()(),()()nnnPxfx()()()[()()()()]!nnfxfxfxfxxxxxn0(())noxx0)(xRn，0)(xRn，…，0)()(xRnn．))(()(!)()(nnnxxoxxnxf⑤――()fx在0x处带Peano余项的n阶Taylor公式故2)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf取00x，则()1()(0)(0)(0)()!nnnfxffxfxoxn――()fx带Peano余项的n阶Maclaurin公式])(!)())(()([)()()(nnnxxnxfxxxfxfxfxR令1)()(nxxx，则则)(xRn在0(,)Nx内具有直到1n导数，且)(xRn)(xRn0)()(xRnn．0)()()()(xxxn．设()fx在0(,)Nx内具有直到1n阶导数，于是，(1)()()()(1)!nnnRxRxn，其中介于x与0x间．注意到)()()1()1(xfxRnnn（因0)()1(xPn），则由上式得1)1()(!)1()()(nnnxxnfxR,介于x与0x间⑥或1)1()(!)1())(()(nnnxxnxxxfxR，01)!1()()()()1(nRxxRnnn，介于x与0x间．――Lagrange型余项TaylorThm――)(xf在0x处带Lagrange余项的n阶Taylor公式设[,]()nabfCx且1(,)()nabfCx，则对0,[,]xxab，有2000002()()()()()()!fxfxfxfxxxxx1100071()()()()()(),!()(!)nnnnfxfxxxxnn介于0,xx间或2000002()()()()()()!fxfxfxfxxxxx11000001()()()(())()(),!()!nnnnfxfxxxxxxxnn01Note：(1)0n时，⑦式成为00()()()()fxfxfxx,介于0,xx之间――Lagrange中值公式(2)取00x，则⑦式成为nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(21)1(!)1()(nnxnf――)(xf带Lagrange余项的n阶Maclaurin公式)0(之间与在x或nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2(1)1()(1)!nnfxxn01(3)若)()1(xfn在),(ba内有界，则当)()(xPxfn时，其误差的估计式为11)1(!)1()(!)1()()(nnnnxxnMxxnfxR，其中)(max)1(),(xfMnbax．函数)(xf的n阶Maclaurin公式)(!)0()0()0()()(xRxnfxffxfnnn；Peano余项为)()(nnxoxR；Lagrange余项为)(xRn1)1(!)1()(nnxnf，x0与在之间.或)(xRn1)1(!)1()(nnxnxf，10.1．几个初等函数的Maclaurin公式23112!3!!(1)!nxxnxxxeexx