组合数的性质

1复习巩固：1、组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm210242322CCCC计算有简洁的计算方法吗？引例1：某小组有7人:⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537C3547C即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.新课教学：4737CC对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一个组合从7位同学中选出3位同学的组合数37C即：从7位同学中选出4位同学的组合数47C思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出个不同元素的组合数,从这n个元素中取出个元素的组合数.即mnnmnCC这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.性质1mnnmnCC性质1的证明mnnmnCmnnmnnmnmnC)]!([)!(!)!(!!说明：2、为了使性质1在m＝n时也能成立,规定01nC1、为简化计算,当m＞时,通常将计算改为计算2nCmnCnmn3xynnCC、xyxyn或例如:20111201120102011201120102011CCC4、该性质又叫对偶法则练习（1）计算：97100C=161700（2）已知：725225xxCC,求x．414ttCCtC20（3）已知：,求x=6或7=190引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？⑶3537C解：2127C⑵⑴5638C我们发现：372738CCC这是为什么呢?我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.372738CCC思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？1211,,,1nmnaaanmC一般地，从这个不同的元素中取出个元素的组合数是，11aa这些组合可分成两类：一类含有，一类不含有，1231,,,nmnaaaanmC不含的组合是从这个元素中取出个元素组成的，共有个123111,,,1nmnaaaanmaC含有的组合是从这个元素中取出个元素与组成的，共有个；由分类计数原理，得11mnmnmnCCC性质2CCmnmn1:证明)]!1([)!1(!)!(!!mnmnmnmn)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn]!)1[(!)!1(mnmn.1Cmn性质2的证明11mnmnmnCCC注:1公式特征:而的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．2此性质的作用:恒等变形,简化运算.4该性质又叫增一法则11mnmnmnCCC3等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元练习：mnC化简（用形式表示）90899999CCmnC89999099CC92004102005CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C0C-8m7mC变式三：81mC例1计算198200(1);C329999(2);CC332898(3).2CCC22002001991990021C31001009998161700321C3322388888562()CCCCC0129456131CCCC（）计算；2222234102CCCC（）计算；例2常用的等式:111010kkkkkkCCCC练习：_______,8771nCCCnnn则若(1)（2）已知,C12=C11+C1177xx则n,C3241863n18则）若（nC69584737CCCC(4)计算（5）2100252423AAAA计算1456或2210CCCCC5545352515222)6(计算2、数学思想：mnmnnCC11mmmnnnCCC1、组合数的两个性质⑴从特殊到一般的归纳思想．⑵取法与剩法的一一对应的思想.(3)含与不含其元素的分类思想