2016届高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 Word版含答

-1-第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算对应学生用书P62基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量AB与向量BA是相等向量()(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量．解：OA＝CB＝DO；OB＝DC＝EO；OC＝AB＝ED＝FO.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量()(2)BA＝OA－OB()-2-(3)向量a－b与b－a是相反向量()(4)两个向量相加就是两个向量的模相加()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(AB＋MB)＋BO＋OM＝________.(2)NQ＋QP＋MN－MP＝________.答案：(1)AB(2)0基础盘查三共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用．(二)小题查验1．判断正误(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c()(3)向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：－13对应学生用书P62考点一向量的有关概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]-3-1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．-4-(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．考点二向量的线性运算(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.运算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.-5-[提醒](1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.[典题例析]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB.12ADC．BCD.12BC解析：选AEB＋FC＝12(AB＋CB)＋12(AC＋BC)＝12(AB＋AC)＝AD，故选A.2．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(BA＋AC)＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：12[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P为线段AB的中点⇔OP＝12(OA＋OB)；(2)G为△ABC的重心⇔GA＋GB＋GC＝0.[演练冲关]1．(2015·聊城二模)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.23b＋13cB.53c－23b-6-C.23b－13cD.13b＋23c解析：选A如图，可知AD＝AB＋BD＝AB＋23(AC－AB)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.故选A.2．若典例2条件变为：若AD＝2DB，CD＝13CA＋λCB，则λ＝________.解析：∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.又∵AD＝2DB，∴2CD＝CA＋CB＋13AB＝CA＋CB＋13(CB－CA)＝23CA＋43CB.∴CD＝13CA＋23CB，即λ＝23.答案：23考点三共线向量定理的应用(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]-7-设两个非零向量e1和e2不共线．如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，AF＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．[解]∵AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，∴AC＝AB＋BC＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线，∴AC∥AF，从而存在实数λ，使得AC＝λAF.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴3＝3λ，－2＝－λk，因此k＝2.∴实数k的值为2.[题点发散1]在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.[题点发散2]在本例条件下，如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．证明：∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2，又CD＝－8e1－2e2，∴CD＝－2AC，∴AC与CD共线．又∵AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC，则A，B，C三点共线．-8-对应A本课时跟踪检测二十五一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．0解析：选D依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，-9-AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋13BC，BE＝BA＋AE＝BA＋13AC，CF＝CB＋BF＝CB＋13BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋13(BC＋AC－AB)＝CB＋23BC＝－13BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．5．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EF＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则mn的值为()A．－2B．－12C．2D.12解析：选A设AB＝a，AD＝b，则EF＝ma＋nb，BE＝AE－AB＝12b－a，由向量EF与BE共线可知存在实数λ，使得EF＝λBE，即ma＋nb＝12λb－λa，又a与b不共线，则m＝－λ，n＝12λ，所以mn＝－2.6．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3B．4C．5D．6解析：选B∵D为AB的中点，则OD＝12(OA＋OB)，又OA＋OB＋2OC＝0，∴OD＝－OC，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，-10-∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，则S△ABCS△AOC＝4.二、填空题7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝__