第一轮复习自己整理绝对经典2016三角函数--第一轮

1三角函数题型总结（2016版）一：终边角的概念1.角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2.象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.例1：如图，终边落在OA位置时的角的集合是；终边落在OB位置，且在360,360内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是例2：角α的终边在第一、三象限的角平分线上，角α的集合可写成．例3：的终边与6的终边关于直线xy对称，则＝____________与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.例4：若是第二象限角，则2是第_____象限角角α终边在第三象限，则角2α终边在象限．二：弧度制及弧长公式角度制与弧度制的换算，抓住：360=2rad∴180=rad弧长公式：||lR，扇形面积公式：211||22SlRR∴1=radrad01745.0180'185730.571801rad例5：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。2三：任意角的三角函数及三角函数线1.任意角的三角函数设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，0x。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr），对于第三、四象限为负（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0xr），对于第二、三象限为负（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,xy同号），对于第二、四象限为负（,xy异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。例6：已知角α的终边过点p(－5，12)，cos=_______tan_______．例7：若cosθtanθ＞0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角例8：若角的终边经过点(12)P，，则cos=tan2=例9：设是第三、四象限角，mm432sin，则m的取值范围是_______真题：【2012.江苏高考】已知角的终边经过点P（-x,-6），且cos=135，则x的值为_______【2014·南京模拟】已知角α的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，则角α的最小正值为________．2.三角函数线的特征：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。xyoMTPA3例10：若08，则sin,cos,tan的大小关系为．例11：若为锐角，则,sin,tan的大小关系为．例12：已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是()A．(π2，3π4)∪(π，5π4)B．(π4，π2)∪(π，5π4)C．(π2，3π4)∪(5π4，3π2)D．(π4，π2)∪(3π4，π)例13：求函数cossintan|cot||sin|costancotxxxxyxxxx的值域四：同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。1.已知一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值例14：已知54sin，并且是第二象限角，求的其他三角函数值．例15：已知178cos，求sin、tan的值．（分类讨论的思想，比较与例1的异同）真题：【15年福建文科】若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）A．125B．125C．512D．5122.体现方程的思想，用方程和方程组解决求值问题例16：已知005sincos,180270,tan.5求的值例17：已知)0(51cossin，求的值。及33cossintan平方关系sin2+cos2=1，1+tan2=2cos1倒数关系tan·cot=1商数关系cossin=tan43.三角函数式的化简问题例18：化简：1tancossin.例19：化简：440sin12例20：化简12sin40cos40．4.三角恒等式的证明例21：求证：（1）1sin2cossin244（2）2222sintansintan（3）cossin1sin1cos5.齐次式例22：已知11tantan，则cossincos3sin＝____________；2cossinsin2＝_____________例23：已知cos2sin，求的值。及cossin2sincos2sin5cos4sin2五：三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值。1.诱导公式直接应用例24：是第三象限角，21)sin(，则cos=)25cos(=例25：若的值，求23sin23cos42sin32cos23tan例26：已知的值，求sin2cos)0(,1cossin25真题：【13年福建文科】sin60cos(45)sin(420)cos(570)的值等于()A.624B.634C.634D.634【12年江苏理科】化简12sin(2)cos(2)得()A.sin2cos2B.cos2sin2C.sin2cos2D.±cos2sin2【14年浙江理科】97costan()sin2146的值为________7231113sincos()tan()cos3643．2.诱导公式重要结论应用xxxxxxtantan,coscos,sinsin6344sincos,cossin2tantan,coscos,sinsin,另外：互余与互余，与熟悉：，则若则若例27：已知6cos,313sin则________例28：在△ABC中，下列各表达式中为常数的是（）A．CBAsin)sin(B．ACBcos)cos(C．2tan2tanCBAD．2sin2cosACB例29：已知的值求6sin65cos,336cos2例30：在△ABC中,若)sin()sin(CBACBA,则△ABC必是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形例31：已知sin(4π+α)=23,则sin(43π－α)值为()A.21B.—21C.23D.—236例32：已知函数sin,(0)()(1)1(0)xxfxfxx,试求)611()611(ff的值【14年九江模拟】若,3cos)(cosxxf那么)30(sinf的值为（）A．0B．1C．－1D．23【14年洛阳模拟】已知,)1514tan(a那么1992sin（）A．21||aaB．21aaC．21aaD．211a六：三角函数的图象和性质1：三角函数的图像了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，能运用数形结合的思想解决问题，能讨论较复杂的三角函数的性质．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．例33：用五点法作函数2cos(),[0,2]3yxx的简图.7例34：分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：1(1)sin;2x15(2)cos,(0).22xx3).3(+2cosx＜02：y=Asin(ωx+φ)的图象的性质周期函数定义：对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，()()fxTfx都成立，那么就把函数()fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．例35：试判断下列函数的周期：|cos|xy||cosxy|sin|xyy=tan|x|y=|tanx|||sinxy注意：理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．一般结论：函数sin()yAx及函数cos()yAx，xR的周期2||Ty＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间：单调减区间：单调增区间：单调减区间：单调增区间：单调减区间：奇偶性奇函数偶函数奇函数8例36：求下列三角函数的周期：①xycos3②xy2sin（3）12sin()26yx，xR．例37：定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当[0,]2x时，xxfsin)(，则5()3f的值为（）A.21B.23C.23D.21例38：函数y=sin(4-2x)的单调增区间是____________例39：函数y=sin(2x+3)的图像的一条对称轴方程是____________例40：函数y=tan(2x3)的定义域是____________例41：函数xxy2cos32sin)66(x的值域为____________例42：函数y=lg(2cosx－1)的定义域为（）A．{x｜－π3＜x＜π3}B．{x｜－π6＜x＜π6｝C．{x｜2kπ－π3＜x＜2kπ+π3，k∈Z}D．{x｜2kπ－π6＜x＜2kπ+π6，k∈Z}真题：【2015高考北京，理15】已知函数2()2sinco