基本初等函数讲义(全)

一、一次函数一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质20fxaxbxca0a0aOxyyxOOxyyxOOxyyxO图像定义域,对称轴2bxa顶点坐标24,24bacbaa值域24,4acba24,4acba单调区间,2ba递减,2ba递增,2ba递增,2ba递减①.二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．五、对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线244yxx的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（）A．2312yxB．2312yxC.2312yxD.2312yx例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（）A．m＜－1或m＞2B．m＜0或m＞－1C．－1＜m＜0D．m＜－1例4.已知二次函数fx同时满足条件：（1）11fxfx；（2）fx的最大值为15；（3）0fx的两根立方和等于17求fx的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．例6．当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．222xmxm例7．当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．三、幂函数例8.下列函数在,0上为减函数的是（）Ａ．13yxＢ．2yxＣ．3yxＤ．2yx例9.下列幂函数中定义域为0xx的是（）Ａ．23yxＢ．32yxＣ．23yxＤ．32yx例10.讨论函数y＝52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y＝42215xx－－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11.计算122(2)的结果是（）A、2B、12C、—2D、—12例12.等于（）A、B、C、D、例13.若53,83ba，则ba233＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|1}xMyyPyyx，则M∩P（）A.{|1}yyB.{|1}yyC.{|0}yyD.{|0}yy例15.求下列函数的定义域与值域：44366399aa16a8a4a2a（1）442xy（2）||2()3xy例16.函数2301xyaaa且的图像必经过点()A．(0，1)B．(1，1)C．(2，3)D．(2，4)例17求函数y=2121xx的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a，那么33log82log6用a表示是（）A、2aB、52aC、23(1)aaD、23aa例19.2log(2)loglogaaaMNMN，则NM的值为（）A、41B、4C、1D、4或1例20.已知732log[log(log)]0x，那么12x等于（）A、13B、123C、122D、133例21.2log13a，则a的取值范围是（）A、20,1,3B、2,3C、2,13D、220,,33五、对数函数的性质例22.下列函数中，在0,2上为增函数的是（）A、12log(1)yxB、22log1yxC、21logyxD、212log(45)yxx例23.函数2lg11yx的图像关于（）A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线yx对称例23.函数2()lg1fxxx是（奇、偶）函数。课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果abc,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的()2.对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反3.二次函数y=图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y=的图像是（）22(2)x22(2)x221xx2axbx1xAyO1xByO1xCyO1xDyO5．如果抛物线y=的顶点在x轴上，那么c的值为（）A．0B．6C．3D．96.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=(ab)x的图象可能是（）8．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．可能是减函数，也可能是常函数9．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．[1,2]D．(－∞，2]10、使x2＞x3成立的x的取值范围是（）A、x＜1且x≠0B、0＜x＜126xxcC、x＞1D、x＜111、若四个幂函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、d的大小关系是（）A、d＞c＞b＞aB、a＞b＞c＞dC、d＞c＞a＞bD、a＞b＞d＞c12．若幂函数1mfxx在(0，+∞)上是减函数，则()A．m1B．m1C．m=lD．不能确定13．若点,Aab在幂函数nyxnQ的图象上，那么下列结论中不能成立的是A．00abB．00abＣ．00abD．00ab14．若函数f(x)＝log12(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．[5，＋∞)15、设集合2{|3,},{|1,}xSyyxRTyyxxR，则ST是（）A、B、TC、SD、有限集16、函数22log(1)yxx≥的值域为（）A、2,B、,2C、2,D、3,17、设1.50.90.4812314,8,2yyy，则（）A、312yyyB、213yyyC、132yyyD、123yyy18、在(2)log(5)aba中，实数a的取值范围是（）A、52aa或B、2335aa或C、25aD、34a19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22等于（）A、0B、1C、2D、320、已知3log2a，那么33log82log6用a表示是（）A、52aB、2aC、23(1)aaD、231