(同济大学课件)测量学第05章_测量误差基本知识

《测量学》学习辅导《测量学》同济大学测量与国土信息工程系第五章测量误差基本知识第五章测量误差基本知识学习要点◆建立测量误差的基本概念◆观测值的中误差◆观测值函数的中误差——误差传播定律◆加权平均值及其中误差§5-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=i+i+i-180其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差I的规律。误差区间负误差正误差误差绝对值dΔKK/nKK/nKK/n0~3450.126460.128910.2543~6400.112410.115810.2266~9330.092330.092660.1849~12230.064210.059440.12312~15170.047160.045330.09215~18130.036130.036260.07318~2160.01750.014110.03121~2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810.5051770.4953581.000表2-1偶然误差的统计-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。5-2评定精度的标准方差和标准差（中误差）的偶然误差是观测值式中：叫标准差方差：iiniiln,122nnii122iilX标准差常用m表示，在测绘界称为中误差。按观测值的真误差计算中误差第一组观测第二组观测次序观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03-39180°00ˊ00002180°00ˊ02-24159°59ˊ59+113179°59ˊ58+24180°00ˊ07-7494179°59ˊ56+416180°00ˊ02-245180°00ˊ01-11180°00ˊ01-116180°00ˊ0000179°59ˊ59+117180°00ˊ04-416179°59ˊ52+8648179°59ˊ57+39180°00ˊ00009179°59ˊ58+24179°59ˊ57+3910180°00ˊ03-39180°00ˊ01-11Σ||247224130中误差7.221nm6.322nm三、相对误差某些观测值的误差与其本身大小有关用观测值的中误差与观测值之比的形式描述观测的质量，称为相对误差（全称“相对中误差”）mllmT1例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的前者的相对中误差为0．02／200＝1／10000而后者则为0．02／40＝l／2000前者的量距精度高于后者。正态分布2)(2)(22221)(1,0021)(xxexfxexf则若正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率xxxx9973.0)33()(9545.0)22()(6826.0)()(1)(,),(~332222XPxfXPxfXPxfxfXNX的正态分布为服从参数随机变量时当极限误差22221)(0xexf则若9973.0)(9545.0)(6826.0)()(3322xfxfXPxfm2允三、容许误差m3允或：但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：=？m=？寻找最接近真值的值x5-3观测值的算术平均值及改正值集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。调和平均数：xnlniil1平均数的倒数il1算术平均数：满足最小二乘原则的最优解nnlXlXlX2211证明（x是最或然值）将上列等式相加，并除以n,得到XnlnnnnlXn][lim0][lim4][][）特性更据偶然误差第（xnl][观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解xiiilxllvl改正值的特性0ivv定义改正值5-4观测值的精度评定标准差可按下式计算112nvmnii1122nvnii中误差证明将上列左右两式方便相减，得nnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv)()()(2211xXvxXvxXvnn取和1][][][)(2][)()(][][)(][][][)()()(][][22131212222212222nvvnnnnnxXxXnvvnxXnvvnxXxXnxXnvnnn　　　　计算标准差例子次序观测值l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11S123.452040毫米16.3232.61540452.123ml小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则iilXnm][ilxivnlx][1][nvvm二、中误差二、中误差5-5误差传播定律已知：mx1,mx2,---mxn求：my=?...),(21xxfy设有函数式：　nmyyy][误差传播定律全微分：...),(21xxfy设有函数式：　....2211dxfdxfdynidxdxffdxfdxfdxfdynxnx....3,2,1...........212122222221212多次，设每个自变量都观测了式中f’有正有负0...)(2lim...)(2...)()(1212112121122221212112ndxdxffnndxdxffndxfndxfndyniiniiniiniinii，　当ndxfndxfndxfndyninnniiniinii12122221212112.....)()(my2m12m22mn2中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。22222221212...nnymfmfmfm§5-6误差传播定律应用举例观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，误差传播定律应用举例观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D22222222222cossincossincoscosvShvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，误差传播定律应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mxnlllxn21mnmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(1112222221221算例：用三角形闭合差求测角中误差次序观测值lΔΔΔ1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0.753.244mCBA223mmmm3秒0.43/mm误差传播定律应用举例1、测回法观测水平角时盘左、盘右的限差不超过40秒；2、用DJ6经纬仪对三角形各内角观测一测回的限差；3、两次仪器高法的高差限差。§5-7加权平均数及其中误差现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值A组：B组：123.333C组：123.356AlClBl3CBAlllxx=?123.360加权平均数()()()各组的平均及其权A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=5AlClBlCPBPAPlPlPlPllllllllllxCCBBAACBA5435431212874321一、权与中误差llCBAAApmmmmmmmmmmllll/5/4/3/9/33/)(22321平均数的权pA=3平均数的中误差m——单位权中误差权与误差的平方成反比22llmmp二、加权平均数简单平均值的理论依据为minvvWxnllllnllvvvWiiiii0)(0)(2加权平均数加权平均值的理论依据为minpvvvWxplpllpplllpvpvpvWiiiiiiiiiiii0)(0)(2nllppii当：三、加权平均值的中误差SSCSBSAxCSCBSBASAxCSCBSBASASiiiiiPmmPpmPpmPpmmPpmPpmPpmlPplPplPpPlpplpx222222222222222..........pmPmmSlppl此式表明iiPmm22四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则nmpmmpnmCBAjmpmjjjjjj222222.....),,(所以因为npm)(21)(2npvvm加权平均时标准差的算例次序观测值l权p改正数vpvpvv1123.4573-4.5-13.560.752123.4503.5+2.58.821.883123.4535-0.5-2.51.254123.4491+3.53.512.255123.4512.5+1.53.75.62S123.