07年高考试题汇编圆锥曲线1

1□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”2007年高考数学试题汇编圆锥曲线重庆文（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线043yx有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A）23（B）62（C）72（D）24（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线xy82的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。题（21）图（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。（21）（本小题12分）（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为pxy22，则82p，从而.4p因此焦点)0,2(pF的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为2px。从而所求准线l的方程为2x。2□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”答（21）图（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|＝|AC|＝4cos||22cos||2aFAppaFApxx解得aFAcos14||，类似地有aFBFBcos||4||，解得aFBcos14||。记直线m与AB的交点为E，则aaaaFBFAFBFAFAAEFAFE2sincos4cos14cos1421|)||(|212||||||||||||所以aaFEFP2sin4cos||||。故8sinsin2·4)2cos1(sin42cos||||222aaaaaFPFP。解法二：设),(AAyxA，),(BByxB，直线AB的斜率为aktan，则直线方程为)2(xky。将此式代入xy82,得04)2(42222kxkxk，故22)2(kkkxxBA。记直线m与AB的交点为),(EEyxE，则22)2(22kkxxxBAE，kxkyEE4)2(，故直线m的方程为224214kkxkky.令y=0,得P的横坐标44222kkxP故3□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”akkxFPP222sin4)1(42||。从而8sinsin2·4)2cos1(sin42cos||||222aaaaaFPFP为定值。重庆理（16）过双曲线422yx的右焦点F作倾斜角为0105的直线，交双曲线于PQ两点，则|FP||FQ|的值为__________.(22)(本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点321,,PPP，使133221FPPFPPFPP，证明||1||1||1321FPFPFP为定值，并求此定值。浙江文（10）已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且PF1⊥PF2，｜PF1｜｜PF2｜＝4ab，则双曲线的离心率是(A)2(B)3(C)2(D)3(21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆2214xy交于A、B两点，记△AOB的面积为S．XOFY2P1P3Pl4□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．(I)解：设点A的坐标为(1(,)xb，点B的坐标为2(,)xb，由2214xy，解得21,221xb所以222121||21112Sbxxbbbb当且仅当22b时，．S取到最大值1．（Ⅱ）解：由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxb2216(41)kb①｜AB｜＝222212216(41)1||1241kbkxxkk②又因为O到AB的距离2||21||1bSdABk所以221bk③③代入②并整理，得424410kk解得，2213,22kb，代入①式检验，△＞0故直线AB的方程是yxOAB5□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”2622yx或2622yx或2622yx或2622yx．浙江理（9）已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3天津文（7）设双曲线22221(00)xyabab，的离心率为3，且它的一条准线与抛物线24yx的准线重合，则此双曲线的方程为（）Ａ．2211224xyＢ．2214896xyＣ．222133xyＤ．22136xy（22）（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）求(0)tb，使得下述命题成立：设圆222xyt上任意点00()Mxy，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQOQ．（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AFFF及1(0)Fc，，2(0)Fc，，不妨设点()Acy，，其中0y，由于点A在椭圆上，有22221cyab，6□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”222221abyab，解得2bya，从而得到2bAca，，直线2AF的方程为2()2byxcac，整理得2220bxacybc．由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cbcbac，将222cab代入原式并化简得222ab，即2ab．证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，，过点O作1OBAF，垂足为H，易知112FBCFFA△∽△，故211BOFAOFFA由椭圆定义得122AFAFa，又113BOOF，所以2212132FAFAFAaFA，解得22aFA，而22bFAa，得22baa，即2ab．（Ⅱ）解法一：圆222xyt上的任意点00()Mxy，处的切线方程为200xxyyt．当(0)tb，时，圆222xyt上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q和2Q，因此点111()Qxy，，222()Qxy，的坐标是方程组AO1F2FHxy7□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”20022222xxyytxyb①②的解．当00y时，由①式得200txxyy代入②式，得22220022txxxby，即22224220000(2)4220xyxtxxtby，于是2012220042txxxxy，4220122200222tbyxxxy2201121201txxtxxyyyy422012012201()txtxxxxxy242242200002222200000422122txtbytxtxyxyxy4220220022tbxxy．若12OQOQ，则42242242220000121222222200000022232()0222tbytbxtbxyxxyyxyxyxy．所以，42220032()0tbxy．由22200xyt，得422320tbt．在区间(0)b，内此方程的解为63tb．当00y时，必有00x，同理求得在区间(0)b，内的解为63tb．8□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”另一方面，当63tb时，可推出12120xxyy，从而12OQOQ．综上所述，6(0)3tbb，使得所述命题成立．天津理22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AFFF及1(0)Fc，，2(0)Fc，，不妨设点()Acy，，其中0y．由于点A在椭圆上，有22221cyab，即222221abyab．解得2bya，从而得到2bAca，．直线1AF的方程为2()2byxcac，整理得2220bxacybc．由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cbcbac，将222cab代入上式并化简得222ab，即2ab．证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，．过点O作1OBAF，垂足为B，易知1FBO△∽12FFA△，故211BOFAOFFA．9□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”由椭圆定义得122AFAFa，又113BOOF，所以2212132FAFAFAaFA，解得22aFA，而22bFAa，得22baa，即2ab．（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为00()xy，．当00y时，由12ODQQ知，直线12QQ的斜率为00xy，所以直线12QQ的方程为0000()xyxxyy，或ykxm，其中00xky，2000xmyy．点111222()()QxyQxy，，，的坐标满足方程组22222ykxmxyb，．将①式代入②式，得2222()2xkxmb，整理得2222(12)4220kxkmxmb，于是122412kmxxk，21222212mbxxk．由①式得2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxk2222222222242121212mbkmmbkkkmmkkk··．由12OQOQ知12120xxyy．将③式和④式代入得22222322012mbbkk，22232(1)mbk．将200000xxkmyyy，代入上式，整理得2220023xyb．当00y时，直线12QQ的方程为0xx，111222()()QxyQxy，，，的坐标满足方程AO1F2FBxy10□07年圆锥曲线真题每个学生都应该用的“超级学习笔记”组022222xxxyb，．所以120xxx，2201222bxy，．由12OQOQ知12120xxyy，即22200202bxx，解得22023xb．这时，点D的坐标仍满足2220023xyb．综上，点D的轨迹方程为22223xyb．解法二：设点D的坐标为00()xy，，直线OD的方程为000yxxy，由12ODQQ，垂足为D，可知直线12QQ的方程为220000xxyyxy．记2200mxy（显然0m），点111222()()QxyQxy，，，的坐标满足方程组002