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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > 江苏高考数学二轮复习专题六第3讲基本不等式及其应用课件理
高考定位高考对本内容的考查主要有(1)基本不等式的证明过程,A级要求;(2)利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,C级要求.1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.解析一年的总运费与总存储费用之和为y=6×600x+4x=3600x+4x≥23600x×4x=240,当且仅当3600x=4x,即x=30时,y有最小值240.真题感悟答案302.(2018·江苏卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.解析因为∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,所以∠ABD=∠CBD=60°,由三角形的面积公式可得12acsin120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin60°,化简得ac=a+c,又a0,c0,所以1a+1c=1,则4a+c=(4a+c)·1a+1c=5+ca+4ac≥5+2ca·4ac=9,当且仅当c=2a时取等号,故4a+c的最小值为9.答案93.(2016·江苏卷)已知函数f(x)=2x+12x,若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,则实数m的最大值为________.解析由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.∵f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)0,∴m≤(f(x))2+4f(x)对于x∈R恒成立.又(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,∴m≤4,故实数m的最大值为4.答案44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是________.解析因为sinA=2sinBsinC,所以sin(B+C)=2sinBsinC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等式两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.又因为tanA=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1,所以tanAtanBtanC-tanA=2tanBtanC,即tanBtanC(tanA-2)=tanA.因为A,B,C为锐角,所以tanA,tanB,tanC0,且tanA2,所以tanBtanC=tanAtanA-2,所以原式=tan2AtanA-2.令tanA-2=t(t0),则tan2AtanA-2=(t+2)2t=t2+4t+4t=t+4t+4≥8,当且仅当t=2,即tanA=4时取等号.故tanAtanBtanC的最小值为8.答案81.基本不等式ab≤a+b2(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0;(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号;(3)其中a+b2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数.考点整合2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号;(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号;(3)a2+b22≥a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号;(4)ba+ab≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0,y≥0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小);(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是s24(简记:和定积最大).热点一配凑法求最值【例1】(1)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大.(2)(2018·南京、盐城一模)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则x2+y2x-y的最小值为________.解析(1)设矩形的长为xm,宽为ym,则x+2y=30.所以S=xy=12x·(2y)≤12x+2y22=2252,当且仅当x=2y,即x=15,y=152时取等号.(2)因为log2x+log2y=log2xy=1,所以xy=2.因为x>y>0,所以x-y>0.所以x2+y2x-y=(x-y)2+2xyx-y=x-y+4x-y≥24=4,当且仅当x-y=2时取等号.答案(1)15152(2)4探究提高(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2017·宿迁期末)若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=________.(2)若对x≥1,不等式x+1x+1-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是________.解析(1)当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)×1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,即a=3.(2)因为函数f(x)=x+1x-1在[1,+∞)上单调递增,所以函数g(x)=x+1+1x+1-2在[0,+∞)上单调递增,所以函数g(x)在[1,+∞)的最小值为g(1)=12,因此对x≥1不等式x+1x+1-1≥a恒成立,所以a≤g(x)min=12.答案(1)3(2)-∞,12热点二常数代换或消元法求最值【例2】(1)(2018·苏州期末)已知正实数a,b,c,满足1a+1b=1,1a+b+1c=1,则c的取值范围是________.(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为________.解析(1)因为a+b=(a+b)1a+1b=2+ab+ba∈[4,+∞),所以1a+b∈0,14,从而1c=1-1a+b∈34,1,得c∈1,43.(2)法一由x+3y=5xy及x,y均为正数可得15y+35x=1,∴3x+4y=(3x+4y)15y+35x=95+45+3x5y+12y5x≥135+125=5.(当且仅当3x5y=12y5x,即x=1,y=12时,等号成立),∴3x+4y的最小值是5.法二由x+3y=5xy,得x=3y5y-1,∵x0,y0,∴y15,∴3x+4y=9y5y-1+4y=13y-15+95+45-4y5y-1+4y=135+95·15y-15+4y-15≥135+23625=5,当且仅当y=12时等号成立,∴(3x+4y)min=5.答案(1)1,43(2)5探究提高条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.【训练2】(1)设a>0,b>0.若a+b=1,则1a+1b的最小值是________.(2)(2018·南京模拟)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为________.解析(1)由题意1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba×ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=12时,取等号,所以最小值为4.(2)法一(消元法)由已知得x=9-3y1+y.因为x>0,y>0,所以0<y<3,所以x+3y=9-3y1+y+3y=121+y+3(y+1)-6≥2121+y·3(y+1)-6=6,当且仅当121+y=3(y+1),即y=1,x=3时,(x+3y)min=6.法二∵x>0,y>0,9-(x+3y)=xy=13x·(3y)≤13·x+3y22,当且仅当x=3y时等号成立.设x+3y=t>0,则t2+12t-108≥0,∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6.故当x=3,y=1时,(x+3y)min=6.答案(1)4(2)6热点三基本不等式的综合应用【例3】(1)设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则lgz4lgx+lgzlgy的最小值为________.(2)(2016·苏州暑假测试)设正四面体ABCD的棱长为6,P是棱AB上的任意一点(不与点A,B重合),且点P到平面ACD,平面BCD的距离分别为x,y,则3x+1y的最小值是________.解析(1)由题意得z2=xy,lgx0,lgy0,∴lgz4lgx+lgzlgy=12(lgx+lgy)4lgx+12(lgx+lgy)lgy=18+lgy8lgx+12+lgx2lgy=58+lgy8lgx+lgx2lgy≥58+2116=98,当且仅当lgy8lgx=lgx2lgy,即lgy=2lgx,即y=x2时取等号.(2)过点A作AO⊥平面BCD于点O,则O为△BCD的重心,所以OB=23×32×6=2,所以AO=(6)2-(2)2=2.又VP-BCD+VP-ACD=VA-BCD,所以13S△BCD·y+13S△ACD·x=13S△BCD·2,即x+y=2.所以3x+1y=123x+1y(x+y)=124+xy+3yx≥2+3,当且仅当x=3-3,y=3-1时取等号.答案(1)98(2)2+3探究提高基本不等式在涉及求最值的问题中常常与数列、几何、函数性质等知识点综合命题,体现了基本不等式的工具作用,在涉及求含参的问题中常常与恒成立问题、存在性问题综合考查,但要注意等号的条件.【训练3】(1)函数y=1-2x-3x(x<0)的值域为________.(2)若不等式x+2xy≤a(x+y)对任意的实数x,y∈(0,+∞)恒成立,则实数a的最小值为________.解析(1)∵x<0,∴y=1-2x-3x=1+(-2x)+-3x≥1+2(-2x)·3-x=1+26,当且仅当x=-62时取等号,故函数y=1-2x-3x(x<0)的值域为[1+26,+∞).(2)由题意得a≥x+2xyx+y=1+2yx1+yx恒成立.令t=yx(t0),则a≥1+2t1+t2,再令1+2t=u(u1),则t=u-12,故a≥u1+u-122=4u+5u-2.因为u+5u≥25(当且仅当u=5时等号成立),故u+5u-2≥25-2,从而04u+5u-2≤425-2=5+12,故a≥5+12,即amin=5+12.答案(1)[1+26,+∞)(2)5+121.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外,在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用,但往往需先变换形式才能应用.3.基本不等式作为求最值的一个有力工具常与其他知识点综合命题,注意含参数问题在恒成立、存在性问题中的合理转化.
本文标题:江苏高考数学二轮复习专题六第3讲基本不等式及其应用课件理
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