初中几何-做辅助线的方法及试题

第1页共8页常见辅助线的方法：（最常见的就是连接特殊两点，作垂线和平行线(中位线)等）1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2）遇到三角形的中点或中线，可作中位线或倍长中线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。必要时也可直接旋转。3）遇到角平分线，可以在角平分线上一点像角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4）截长补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定的线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。这种方法适合于证明线段的和，差，倍，分等类的题目。5）等面积法：利用三角形（或其他图形）面积不同求法来解决线段之间的问题。6）遇到线段的垂直平分线，连接线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。7）遇到直角三角形，作直角三角形斜边上的中线。8）在有特殊角的情况下，考虑作等边三角形。一．倍长中线造全等1.（“希望杯”试题）已知，如图ΔABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是___________。2.如图，ΔABC中，E,F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。第2页共8页3.如图，在ΔABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE。4.（09崇文二模）以ΔABC的两边AB，AC为腰分别向外作等腰RtΔABD和等腰RtΔACE，∠BAD=∠CAE=90°,连接DE，M和N分别是BC和DE的中点，探究：AM与DE的位置关系与数量关系。（1）.如图1，当ΔABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是___________，线段AM与DE的数量关系是___________。(2).将图1中的等腰RtΔABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0θ90）后，如图2所示，（1）问中的两个结论是否发生改变？说明理由。第3页共8页二．截长补短5.如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC。6.如图，已知在ΔABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P,Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP.7.如图在ΔABC中，ABAC,∠1=∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-ACPB-PC.第4页共8页三．线段的垂直平分线8.已知如图，∠1=∠2，ED∥AC，交AB于点E，EF⊥AD交BC的延长线于点F，求证：∠FAC=∠B。四．等腰三角形9.如图，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ABC=45°,AD是BC边上中线，CE⊥AD于点H，求证：∠ADC=∠EDB.10、如图，△ABD、△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，(1)求证：CD=BE；(2)求∠BOC的度数。OEDCBA第5页共8页五．借助角平分线造全等11.如图，在ΔABC中，∠B=60°，ΔABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE=OD。12.如图，在ΔABC中,AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（1）证明：BE=CF；（2）如果AB=a,AC=b，求AE，BE的长。六．直角三角形13.已知如图，在ΔABC中，∠C=90°，D是AC上任意一点，DE⊥AB于点E，M，N分别是BD，CE的中点，求证：MN⊥CE。第6页共8页14.如图，在ΔABC中，AB=AC，直线m过点A，过B，C分别作BC的垂线交m于D,E两点。求证：AD=AE。七．面积法15.如图ΔABC是等要三角形，AB=AC，P是底边上任意一点，PE⊥AC，PD⊥AB,BF是腰AC上的高，E,D,F为垂足。求证：（1）PE+PD=BF；（2）当P在BC延长线上时，PE，PD，BF之间的关系是?并予以证明。八．旋转16.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数。第7页共8页17.D为等腰RtΔABC斜边AB上的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E,F。（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF；（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。18.如图ΔABC的边长为3的等边三角形，ΔBDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB，AC于点M,N，连接MN，则ΔAMN的周长=___________。19.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，他的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E,F.当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时，易证AE+CF=EF.当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3两种情况，上述结论是否成立？若成立，请给予证明.若不成立，它们又有什么数量关系？请写出你的猜想，不需证明.第8页共8页九．在有特殊角的情况下，考虑作等边三角形20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。十．翻折（轴对称的应用）21.如图在ΔABC中，D为AB上一点，∠DAC=30°，∠ACD=40°,求∠ABC的度数。