第一章 概率论基本概念

2020/2/131概率论与数理统计2第一章概率论的基本概念样本空间随机事件频率和概率条件概率事件的独立性3§1随机试验确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定确定性现象不确定性现象自然界与社会生活中的两类现象4例：向上抛出的物体会掉落到地上（确定）打靶，击中靶心（不确定）买了彩票会中奖（不确定）5不确定现象：个别现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。不确定现象：个别现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。不确定现象：个别现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。6概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。7对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。它具有以下特性：可以在相同条件下重复进行；事先知道可能出现的结果；进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。8例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；9§2样本空间·随机事件(一)样本空间定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件．10例：一枚硬币抛一次记录一批产品的寿命x记录一城市一日中发生交通事故次数记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y11S={正面，反面}；S={0,1,2,…}；S={x|a≤x≤b}S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；12(二)随机事件一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。13随机事件有如下特征：任意一事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示；事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现；事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。14S={0,1,2,…}；A={至少有10人候车}={10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。例：观察89路公交车浙大站候车人数。15由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不包含任何样本点。162ABABBA＝1：事件发生一定导致发生ABABSAB(三)事件的关系及运算事件的关系（包含、相等）17例：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点数奇偶性不同}，则BABABA18事件的运算{|}ABxxAxBAB或：与至少有一发生。SBAABA与B的和事件，记为{|}ABxxAxBAB或：与至少有一发生。19事件的运算SAB,,ABABABA与B的积事件，记为{|}ABxxAxBAB且：与同时发生。{|}ABxxAxBAB且：与同时发生。20121121,,,,ninininiAAAAAAAA：至少有一发生：同时发生SBA当AB=Φ时，称事件A与B是互不相容的，或互斥的。21ASA{|}事件对事件的差事件：且ABABxxAxBAB,,逆事件记为互逆(互为的,若,对立事件)称AASABSAAABAAAB{|}事件对事件的差事件：且ABABxxAxBABASA22“和”、“交”关系式1211nniiniiAAAAA＝；1211nniiniiAAAAA；SAB23ABABABABABAB例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}24概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统”。25例：由n个部件组成的系统，记•串联系统：•并联系统：{第i个部件没有损坏}，i=1,2,,,A＝{系统没有损坏}iAn1niiAA1niiAA26§3频率与概率(一)频率定义：记其中—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。An()；nAfAnn()nfA271n；例：中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为28()121675%nfA()nfA某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A={听课迟到}，则频率反映了事件A发生的频繁程度。29频率的性质：121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494例：抛硬币出现的正面的频率31实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.500532频率的重要性质：随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p()nfA33定义2：将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率。12111()02()13,,()()。。。,...,,...,（ij）kijiiiiPAPSAAAAAPAPA(二)概率定义1：的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p()nfA34性质：(1,2,...),nAn证：令1,,.nijnAAAij111()()()nnnnnPPAPAP1()0P()0.(()0)PP3512112,,,()()nnnijiiiiAAAAAijPAPA。,...,,(1,2,...),nkAk证：令,,,1,2,....ijAAijij1111()()()().nniiiiiiiiPAPAPAPA12112,,,()()nnnijiiiiAAAAAijPAPA。,...,,364()()()若，则有ABPBAPBPA3()1()PAPAAAS证：()()1PAPA()(),()()1于是有PBPAPAPS37()()证：BAABABABAAB()()()PBPAPAB()()()()0PBPAPABPBA()()PBPA()?PBA问题：一般情况下()()()PBAPBPAB答案：38()0()1PAAPBBS注：已知不能；已知不能.395()()()()概率的加法公式：PABPAPBPAB()ABABA证：()()()PABPAPBA()()()()PABPAPBPAB5()()()()概率的加法公式：PABPAPBPAB40#5。的推广1：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC()()()()PABCPABPCPACBC证：()()()()()()()PAPBPABPCPACPBCPABC()()()()()()()PAPBPABPCPACPBCPABC()()()()PABCPABPCPACBC证：411111121()()()()(1)()nniiijiijninijknijknPAPAPAAPAAAPAAA#5。的推广2(一般情形）：42例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至少有一人参加的概率。43解：设A,B,C分别表示甲,乙,丙参加，由条件知P(A)=P(B)=P(C)=0.4,P(AB∪AC∪BC)=0.3,P(ABC)=0.05.44由0.3＝P(AB∪AC∪BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)−2P(ABC),得P(AB)+P(AC)+P(BC)=0.3+2P(ABC)=0.4,45因此，P(甲乙丙至少有一人参加）=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.85.46§4等可能概型（古典概型）定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)APAS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型(或古典概型)。47例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。（1）从袋中随机摸一球，记A={摸到红球}，求P(A)．（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一红一黄}，求P(B)．48解：(1)11235815(2)()/53.6%28PBCCC38PAS={1,2,,8},A={1,2,3}49例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}（k≤D)，求P(Ak)．(,)DNnN50()/,0,1,,knknkDNDNPACCCkn0LmC（注：当Lm或L0时，记）解：51例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝{恰有n个盒子各有一球}，求P(A)．52!nNCn()!/nnNPACnN解：n个球放入N个盒子中，总样本点数为，使A发生的样本点数()!/nnNPACnN53•应用（生日问题）在一个n（≤365）人的班级里，至少有两人生日相同的概率是多少？543653651!/365365记B＝{至少两人生日相同}则P(B)=＝解：1-nnnnACn640.997当时，np解：55例4:(抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n．设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第k次摸到红球的概率。{},1,2,,.().记第k次摸到红球求kkAknPA{},1,2,,.().记第k次摸到红球求kkAknPA56,,,,12kn①—a号球为红球，可设想将n个球进行编号：其中将n个人也编号为1,2,…,n．①②。。。n可以是①号球，亦可以是②号球……是号球n57①②。。。n(1)!()()!kaabaPAabab-------与k无关视的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。解：58,,,,12kn11()/aaknnaPACCab11anCanCkA总样本点数为，每点出现的概率相等，而其中有个样本点使发生，解2：视哪几次摸到红球为一样本点59解3：将第k次摸到的球号作为一样本点()kaaPAnab①，②，…，nS＝{}，kA