(导学教程)2012届高三数学二轮复习课件：专题六第二讲

第二讲概率、随机变量及其分布一、概率特点概率求法古典概型等可能性、有限性P(A)＝几何概型等可能性、无限性P(A)＝A包含事件的个数基本事件总数A的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的长度面积或体积特点概率求法互斥事件有一个发生的概率事件互斥P(A＋B)＝相互独立事件同时发生事件互相独立P(AB)＝(A、B相互独立)独立重复试验一次试验重复n次P(X＝k)＝(p为发生的概率)条件概率在事件A发生的条件下B发生记作B|AP(B|A)＝P(A)＋P(B)(A、B互斥)P(A)P(B)Cknpk(1－p)n－kPABPA二、离散型随机变量的分布列及数字特征1．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的分布列．(2)分布列的性质①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(3)均值与方差①均值：E(X)＝.②方差：D(X)＝.③若Y＝aX＋b则E(Y)＝，D(Y)＝．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn(x1－E(X))2p1＋…＋(xn－E(X))2pnaE(X)＋ba2D(X)2．几种常见的随机分布(1)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.称分布列X01…nPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列，称X服从超几何分布．(2)二项分布①在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(X＝k)＝(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．显然P(X＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，∑nk＝0Cknpkqn－k＝1.称这样的随机变量X服从参数和的二项分布，记为X～B(n，p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．Cknpkqn－knpnpnp(1-p)(3)正态分布①若X服从参数为μ和σ2的正态分布，则可表示为．②N(μ，σ2)的分布密度曲线关于直线对称，该曲线与x轴所围成的图形的面积为.X～N(μ，σ2)x＝μ11．(2011·课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.13B.12C.23D.34答案A解析甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝39＝13.2．(2011·福建)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A.14B.13C.12D.23答案C解析这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为S△ABES矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.故选C.答案D3．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12B.35C.23D.34解析甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.4．(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576答案B解析解法一由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，∵K，A1，A2相互独立，∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.∴系统正常工作的概率为P(K)[P(A1A2)＋P(A1A2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.解法二A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A－1A－2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，∴系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A－1A－2)]＝0.9×0.96＝0.864.5．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.解析由题意知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12.随机变量X的分布列为：X0123P1121351216E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.答案53高考对本节内容考查的重点是古典概型、几何概型、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、二项分布以及离散型随机变量的分布列、期望、方差等．题目常与实际生活相联系，体现概率在实际应用中的地位与作用．预计2012年高考对概率考查的难度不会太大，一般为中等偏下．离散型随机变量的分布列、均值和方差是解答题中考查的重点内容，在复习中要给予重视．古典概型(2011·浙江)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A.15B.25C.35D.45【答案】B【解析】第一步先排语文书有A22＝2种排法．第二步排物理书，分成两类．一类是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排列，有A24＝12种排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2×(12＋2×2×3)＝48种排法，而5本书全排列共有A55＝120种．所以同一科目的书都不相邻的概率是48120＝25.有关古典概型的概率问题，关键是求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这一般要用到计数原理与排列组合的相关知识，如本例中的难点就是求基本事件的总数，一般解决的方法要先准确理解基本事件的构成，即要求同一科目的书不相邻，然后根据具体情况选择合适的方法计算．如本例中，由于放在语文书中的物理书的位置不同，影响数学书的排放，故要分类讨论，这也是很常见方法之一．1．(2011·安徽八校模拟)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是________．解析∵m、n均为正整数，∴当点A(m，n)位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈0，π2，此时，点A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)，而点A(m，n)的总个数为6×6＝36，故所求概率为2136＝712.答案712(2011·湖南)如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.几何概型【解析】(1)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.【答案】2π；14高考对几何概型的考查仅仅局限在几何概型的意义，那就要知道几何概型的计算公式．几何概型的试题往往以其他数学问题为背景，在解答几何概型问题时，要从整个高中数学的相关知识上考虑问题，如本例中的条件概率，与之综合的常常还有线性规划、定积分、几何体的体积求法等，解决的方法最终是把问题转化到求一些线段长度的比值、区域面积的比值和几何体的体积的比值上去．2．在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率是A.18B.14C.34D.78解析因为f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，故函数f(x)在[－1,1]上单调递增，故函数f(x)在区间[－1,1]上有且只有一个零点的充要条件是f－1≤0，f1≥0，即a＋b＋1≥0，a－b＋1≥0.答案D设点(a，b)，则基本事件所在的区域是0≤a≤2，0≤b≤2，画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率是图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是78.故选D.(2011·大纲全国卷)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．相互独立事件的概率【解析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝C13×0.2×0.82＝0.384.解决相互独立事件的概率问题要学会分析事件之间的关系，一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的核心，一般的思路是先把所要解决的随机事件分解成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分解成若干相互独立事件的积，或利用所求事件的对立事件解决问题．在本例中，求该地3位车主中恰有1位车主只购买甲保险，1位车主只购买乙保险，另一位车主甲、乙两种保险都买的概率．解析记F表示事件：该地的1位车主购买甲保险但不购买乙保险，G表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都购买．∴A＝F＋G，∴P(A)＝P(F)＋P(G)＝P(F)＋P(BF)＝P(F)＋P(B)P(F)，∴0.5＝P(F)＋0.3P(F)，解得P(F)＝513，P(G)＝326，故所求事件的概率为：C13P(F)·C12·P(B)·P(BF)＝3×513×2×0.3×326＝27338.离散型随机变量的分布列、期望、方差(12分)(2011·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为910和13.(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．【解题切点】(1)利用二项分布的数学期望公式计算期望值的大小，比较可得．(2)列出甲在A区与B区所得分数，由互斥事件的概率公式计算．【标准解答】(1)设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B2，910，故E(X)＝2×910＝95，(2分)则选手甲在A区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B区投三次篮