复变函数(全书知识点)

《复变函数与积分变换》ComplexAnalysisandIntegralTransforms朱传喜等编江西高校出版社复数的诞生先从二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用则当时无解，当时有解．),0(,02acbxaxaacbbx242042acb042acb二千多年没有进展：寻找三次方程023dcxbxax的一般根式解．G.Cardano(1501-1576):＂怪才＂，精通数学，医学，语言学，文学，占星学．他发现1040xx没有根，形式地表为515515与L.Euler(1707-1783):瑞典数学家,13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼失明，60岁完全失明．1748年：Euler公式C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复数用平面向量或点来表示．K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的怀疑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展．cossinieiaibR.Descartes(笛卡儿):1596-1650,法国哲学家，坐标几何的创始人．1637他称一个负数的开方为虚数(imaginarynumber).1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用到水利学，地图制图学．复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。第一章复数与复变函数§1.1复数及其运算定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。称为虚单位。其中ii,121.复数的概念一般,任意两个复数不能比较大小。•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)0||22yxz•复数的模121212111222,,,0Re()Im()0zzxxyyzxiyzxiyzzz其中•判断复数相等定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2))0(||||222211222212121zzyxyxizyyxxzzz2.代数运算•四则运算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.•运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，•共轭复数的性质2121)()1(zzzz2121)(zzzz2121)(zzzzzz)2(2||1zzz2222)Im()Re()3(yxzzzz)Im(2)Re(2)4(zizzzzz3.共轭复数定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate).,)(,,43,55:1212121虚部及它们的实部求设例zzzziziz574355:21iiizz解411:2ii求例iii11)(.,0aaaa.3011-1nn现实多项式的零点成对出也是其根则的根是实系数方程证明若例zxxxznn22212212212:.4zzzzzz证明例1.点的表示此时，表示的点，可用平面上坐标为复数.)(Pyxiyxz平面复平面或—平面虚轴—轴实轴—轴zyx)(yxPiyxz，复平面上的点点的表示：数z与点z同义.§1.2复数的几何表示),(),(),(yxPiyxzyxyxP平面上的点一对有序实数任意点系，则在平面上取定直角坐标),,(yxiyxz一对有序实数易见，.},{)(iyxzOPyxOPyxPiyxz表示可用向量，点2.向量表示法00OPzzyxrOPzArg:,||||22记作辐角模：oxy(z)P(x,y)rzxy称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)OP向量辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，xyzz/)Argtan(0时，0把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。0,00,0arctan0,02,0arctanargyxyxxyyxRyxxyz计算argz(z≠0)的公式当z落于一,四象限时，不变。当z落于第二象限时，加。当z落于第三象限时，减。2arctan2xyoxy(z)z1z212121212)(:zzzzzzzz三角不等式由此得由向量表示法知之间的距离与点—2112zzzz3.三角表示法)sin(cosirz得由sincosryrx4.指数表示法得公式再由sincos:ieEuleriirez例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.1)122;2)sincos.55zizi[解]1)||1244.rzz在第三象限,因此235arctanarctan.3612因此56554cos()sin()466izie2)显然,r=|z|=1,又3sincoscos,525103cossinsin.52510因此31033cossin1010izie练习：写出的辐角和它的指数形式。132iz解：322argarctanarctan3,1233z2arg22,,3ArgzzkkkZ1,rz23.ize很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例1将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为121121(),()().xxtxxtyytyy因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2z1).(t+)由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2z1).(0t1)取12t得知直线段的中点为122zzz例2求下列方程所表示的曲线:1)||2;2)|2||2|;3)Im()4.ziziziz解：1)||2zi设z=x+iy,方程变为2222|(1)|2(1)2,(1)4xyixyxyiOxy2)|2||2|ziz几何上,该方程表示到点2i和2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和2的线段的垂直平分线,方程为yx,也可用代数的方法求出。Oxy22iyx3)Im()4.iz设z=x+iy,那末(1)Im()1izxyiizy可得所求曲线的方程为y3.Oyxy3例3将在直角坐标系下的直线方程0cbyax化为在C内的复变量表示式.解因为iyxz，所以).(21)(21zziyzzx，将上式代入0cbyax得：02)()(czzibzza,即czibaziba2)()(，令cBibaA2，，则有.0BzAzA注:这里A是复数,B是实数.x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.用直线将复平面内任一点z与N相连,必与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.4.复球面与无穷远点扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞.约定:),0(0aa),(0aa)(aa)0(aaa)(aaa注:若无特殊说明,平面均指有限复平面.定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.乘积与商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3复数的乘幂与方根几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。定理1可推广到n个复数的乘积。1oxy(z)1z2z1z22z2例：设121,.zzi212;izzie12,Argzn22,2Argzm则：121222,,ArgzzArgzArgzkkmnZ即k=m+n+1则有,22)(223knm定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。证明)(121212ierrzzzArgz=Argz2-Argz1即：由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）212211,iierzerz设解如图，将向量21zz逆时针旋转3或3后得到的向量31zz或31zz的终点3z或3z即为所求.根据复数的乘法，有))(3sin3(cos1213zzizz)1)(2321(iii)2321()2321(，所以33313()()2222zi.同理，若转角为3，可得33313()()2222zi＋－例2设复数321zzz，，对应等边三角形的三个顶点，证明：2221231223310.zzzzzzzzz证如图，向量21zz旋转3得到向量31zz，向量32zz旋转3得到向量12zz，由于复数3ie的模为1，辐角为3.根据复数乘法，有)()(2332112313zzezzzzezzii，，由此得))(()(21122313zzzzzzzz.即2122212121323123zzzzzzzzzzzzz，所以.0133221232221zzzzzzzzz设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。innnerz由定义得2.复数的乘幂定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作zn，即zn=zzz（共n个）。.1nnzz定义特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。nz记,,zeni由设iinnree有)(2,Zkknrn3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算当z≠0时，有n个不同的ω值与相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，nznkinnerz2)2sin2(cosnkinkrn