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复变函数与积分变换电信系通信工程教研室李广柱电话:0731-84261483手机:15973120248QQ:46860236Email:lgz1979@gmail.com2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-2课程简介1.课程性质及特点2.课时3.教材及参考书4.教学目标5.要求6.考核7.主要讲授内容2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-3课程简介1.课程性质及特点是包括通信工程专业在内的电子学专业的重要的基础课程,所涉及的知识是从事通信工程专业的人员需要了解和掌握的。所需的基础知识:高等数学。是后继课程,如“信号与系统”、“数字信号处理”、“通信原理”等课程的基础课。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-4课程简介2.课时24学时3.教材及参考书教材:林益编:《复变函数与积分变换》,华中科技大学。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-53.主要参考书:1).西安交通大学.复变函数,高等教育出版社,1996.2).焦红伟.复变函数与积分变换,北京大学出版社,2007.3).高宗升.复变函数与积分变换,北京航空航天大学出版社,2006.课程简介2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-64.教学目标:学习和掌握复数和复变函数的基本概念;掌握解析函数,及其导数、积分的概念;掌握复数级数、留数的概念;掌握积分变换的定义和基本概念。课程简介2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-7课程简介5.考核:作业(20%)+考试(80%)学习纪律要求:缺课达1/3者,不准参加期末考查;缺作业1/3者,不准参加期末考查。6.要求:上课认真听讲,积极回答问题、参与讨论;有问题及时问,不能积累;作业独立按时完成。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-87.主要讲授内容第一章复数和复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数定理第七章傅里叶变换课程简介2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-9本次课讲述的内容复数复数的概念复数的四则运算复数的表示方法复平面复数的模与辐角复数的三种表示方法平面图形和区域的复数表示2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-10复数的概念为什么要引入复数的概念?210xln(1)?2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-11虚数单位的引入实例:方程x2=-1在实数集中是无解的,为了解这个方程,需要引入一个新数i,称之为“虚数单位”。且规定:(1).i2=-1;(2).i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-12虚数单位的特性虚数单位具有以下特性:根据定义可知,1;ii21;i32;iiii?ni01;i一般地,若n是正整数,则:144114243nnkinkinkink2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-13复数的定义对于任意两个实数x和y,称z=x+y·i或z=x+i·y为复数。其中x,y分别称为复数z的实部和虚部。并记:x=Re(z);y=Im(z)。在工程应用中常把Re称作求实部的运算或操作;Im称作求虚部的运算或操作。当实部x=0,y≠0时,称z=i·y为“纯虚数”;当虚部y=0时,z=x+0·i则可被视作实数x。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-14两个复数相等的条件两个复数相等,当且仅当它们的实部和虚部分别相等。设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则:复数z等于0,当且仅当它的实部和虚部同时等于0,即:121212aazzbb000azb2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-15共轭复数的概念两个复数,若它们的实部相同而虚部互为相反数,则它们为共轭复数。设复数z=a+bi共轭复数记为,则可知:zabiz2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-16复数的代数运算设两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,记:(1).它们的和与差(2).它们的积12112212121221()()()()zzabiabiaabbababi121212()()zzaabbi例:求复数z=a+bi,与其共轭复数之积。结论:两个共轭复数之积是个实数。22()()()zzabiabiab2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-17复数的代数运算设两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,记:(3).它们的商可见,复数的代数运算满足:加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律加法对乘法的分配律11211221212122122222222222()()()()zzzabiabiaabbababizzzabiabiabab2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-18共轭复数的性质共轭复数满足以下性质:(1).(2).(3).(4).1212zzzz1212zzzz1212//zzzzzz22(Re)(Im)zzzz()2Rezzz()2Imzziz2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-19例:将下列复数表示成x+yi的形式:11iiii解:221(1)211(1)1(21)(1)331(1)(1)222iiiiiiiiiiiiiiii2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-20例:设,求Re(z),Im(z)和。131izii解:133(1)33311(1)(1)222iiiiziiiiiiizz3Re()2z1Im()2z2222315(Re())(Im())()()222zzzz2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-21复数的性质两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小。观察复数i和0,由复数的定义可知i≠0;(1).若i0,则i·i0·i,即-10,矛盾;(2).若i0,同样可得i·i0·i,即-10,矛盾。由此可见,复数中无法定义大小关系。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-22复平面的概念注意到:复数z=x+i·y与有序实数对(x,y)成一一对应关系。因此,一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数,通常把横轴叫做实轴或x轴,纵轴叫做虚轴或y轴。这种用来表示复数的平面叫做复平面。),(yxxyxyoiyxz复数z=x+i·y可以用复平面上的点(x,y)表示。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-23复数的模从复平面上的原点o到点z=x+iy所引的向量与复数z构成对应关系,复数z在复平面上也可以用向量来表示,向量的长度称为z的模或绝对值,记为:22||zrxyxyxyoiyxzroz显然下列各式成立:||0,||00zzz||||,||||,||||zxzyzz||||||,zxy2||zzz2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-24平行四边形法则两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致,满足平行四边形法则和三角形法则:xyo1z2z21zzxyo1z2z21zz2z2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-25复数的辐角在z≠0的情况下,由实轴正向到向量之间的夹角称为复数z的辐角,记为。ozArgz任何一个复数z≠0都有无穷多个辐角,假定是其中一个辐角,则z的全部辐角为:Arg2,zkkZ特别地,当z=0时,|z|=0,此时辐角不确定。2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-26辐角的主值在复数z(≠0)的辐角中,把满足的辐角称为Argz的主值,记为。argz思考:辐角主值是否唯一?辐角怎么求?例:求复数的辐角和辐角主值。3zi解:1tan36因此,辐角主值为:辐角为:arg6zArg2,6zkkZ2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-27复数的辐角复数z≠0时辐角的主值:arctan00,0(0)2argarctan0,0(0)0,0yxxxyyzyxyyxxyarctan22yx其中:2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-28共轭复数的模和辐角一对共轭复数和在复平面上的位置关于实轴对称,因此它们的模满足:z共轭复数和的辐角主值满足什么关系?(1).若z=0,则辐角无意义;(2).若z位于负实轴上,则:(3).其它情况下,则有:xyoiyxziyxzz||||zzzzargargzzargargzz2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-29例:求、。Arg(34)i解:Arg(34)i44arg(34)arctanarctan33i44arg(34)arctanarctan33i4Arg(34)(21)arctan,3ikkZ4Arg(34)(21)arctan,3ikkZ2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-30复数的三种表示方法前面已经学过,复数z可以表示成:利用直角坐标和极坐标之间的关系:可得:,此所谓复数的三角表示法。cossinxryrxyxyoiyxzrzxyi(cossin)zri2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-31复数的三种表示方法在三角表示法的基础上,利用Euler公式:可以将复数表示为:此所谓复数的指数表示法。cossiniei(cossin)zriizre2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-32例:将下列复数表示成三角形式和指数形式:122zi解:22(12)(2)412225arctan12665554(cos()sin())4exp()666rziziisincos55zi23(cos5sin5)(cos3sin3)izi2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-33sincos155zir3sincos()cos525103cossin()sin5251033sincoscossin5510103exp()10zizizi2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-34cos5sin5exp(5)cos3sin3exp(3)iiii23(cos5sin5)(cos3sin3)izi23(cos5sin5)exp(10)exp(19)(cos3sin3)exp(9)iiziiicos(19)sin(19)ziii2020年2月13日星期四《积分变换与复变函数》第1讲-35平面图形的复数表示根据复数的几何意义可知,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定平面图形。121121(),(,)()xxtxxtyytyy例:将通过两点z
本文标题:复变函数01-复数和复数的表示方法
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