复变函数作业

221.求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角。1(1)3+2i解：(3-2i)3-2i32原式===-i(3+2i)(3-2i)13131332Re(z)=,Im(z)=-131332z=+i13133213|z|=+=131313y2又∵tg(Argz)==-x32∴argz=arctg-322(3+4i)(2-5i)(3)2i解：(6+8i-15i+20)i7+26i7原式===--13i-2-227Re(z)=-,Im(z)=-1327z=-+13i275|z|=+13=2922y26又∵tg(Argz)==x726∴argz=arctg72x+1+i(y-3)2.x,y等于什么实数，等式=1+i成立？5+3i解：x+1+i(y-3)5+3i[x+1+i(y-3)](5-3i)=25-9i5x+3y-4+i(5y-3x-18)==1+i345x+3y-4=34x=1由⇒5y-3x-18=34y=11πi2πi3(1)i解：πr=1,argz=2ππ∴i=i=cos+isin=e22(3)1+i3解：πr=1+3=2,argz=3ππ∴1+i3=2(cos+isin)=2e338.将下列复数转化为三角表达式和指数表达式。π-i42i(5)-1+i解：2i(-1-i)原式==1-i(-1+i)(-1-i)πr=2,argz=42iππ∴=2(cos-isin)=2e-1+i4410.一个复数乘以－i，它的模和辐角有何改变？答：模不变辐角减小14.求下列各式的值。555(1)(3-i)ππ3-i=2cos-2sin66ππ(3-i)=2cos-2isin665π5π=32cos-32isin66=-163-16i解：666(3)-1-1cos(2)-sin(2)2222-1cos-sin6363-131313131,,-,-,--22222222解：由得的值为kikkikiiiii3316.80.2-1442[cos()sin()]333313,13,2求方程的所有根得ZZkikZiZiZ21.Z,(1)z-5=656指出下列各题中点的轨迹或所在范围并作图。以为圆心，以为半径的圆xyo-1r=6(2)|z+2i|≥1以-2i为中心，以1为半径的圆周及其外部区域xyor=1-2i(3)Re(z+2)=-1x=-3直线(4)Re(iz)=3y=3直线-3xyo-3xyo3xyo(5)z+i=z-i实轴(6)z+3+z+1=4-3-14以，为焦点，长轴为的椭圆xyor=4(7)Im(z)2y=2直线及其下部平面z-3(8)1z-25x=2直线及其左边平面xyo2xyo2.5(9)0argzπ不包含实轴的上半平面xyo(10)arg()4iy=x+1x0以为起点的射线（）zi22.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明是有界的还是无界的，是单连通还是多连通的。(1)Im(z)0不含实轴的上半平面，是无界的单连通区域。xyo(2)|z-1|4圆(x-1)2+y2=16的外部区域（不包括圆周）,是无界的多连通域。xyo-1r=4y=x+1xyoi(3)0Re(z)1由直线x=0和x=1所构成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的单连通域。xyox=0x=1(4)2≤|z|≤3由圆x2+y2=4和x2+y2=9所围成的圆环域包括圆周在内，是有界的多连通闭区域xyoor=3r=2(5)|z-1||z+3|直线x＝－1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的单连通域。x=-1xyo(6)－1argz－1＋π由射线θ=-1和θ=－1＋π构成的角形域，不包括两条射线在内，即为一半平面，是无界的单连通域。（7）|z-14|z+1||中心在z＝-17/15,半径为8/15的圆周的外部区域。是无界的多连通域。xyor=8/15-17/1522(8)|z-2|+|z+2|≤6xy椭圆+=及其围成的区域，95是有界的单连通闭区域xyo3yxo22(9)|z-2|-|z+2|144双曲线4x-y=1的左边分支内部区域，15是无界的单连通域xy22（10）zz-(2+i)z-(2-i)z≤4圆(x-2)+(y+1)=9及其内部区域，是有界的单连通闭区域xyor=3(-2,1)2o