[数学]等差数列与等比数列复习

知识回顾等差数列—几何意义—通项—公差—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......【说明】AAA①数列{an}为等差数列an+1-an=d或an+1=an+dd=an+1-an②公差是唯一的常数。an=a1+(n-1)d一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.a,a,a,a,……，a，……；√√√××复习巩固：(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是AAAAAAAAA(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1+a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=，d=等差数列的性质1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；研究性问题2.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=4n=72a10=a3+(10-3)da3=27例1.在-1与7之间插入三个数,使它们与这两个数成等差数列.求这三个数.例题分析例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差数列{an}中若a59=70，a80=112，求a101；d=2,a101=1545.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?4.若a12=23，a42=143，an=263，求n.d=4n=72a10=a3+(10-3)da3=27nnaaaaS321121aaaaSnnnn)()()(21121aaaaaaSnnnn2)(1nnaanS)(1naan若{an}是公差为d的等差数列，则其前n项和：)()()(111nnnaaaaaa(2).如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，把an=a1+(n-1)d代入可得到等差数列前n项和的另一个公式。2)aa(nSn1ndnnnaSn2)1(1二、学习新课㈠等差数列前n项和Sn==.2)(1naandnnna2)1(1=an2+bna、b为常数Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an(1)Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得2Sn=n(a1+an)㈡【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②等差数列的前n项和公式类同于；③{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数1.前100个自然数的和：1+2+3+…+100=；2.前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=；3.前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=.思考题：如何求下列和？5050n2n(n+1)4、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(1010s25502)150(501005050s5.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1nnsnndnaa所以得先由［前15项］5.等差数列4,8,12,16…的前多少项和是480？解：480,448,41nSda则由公式得到：48042)1(4nnn02402nn)(16,1521舍去nn故等差数列4，8，12，16，…前15项的和是480解得：6.若等差数列4，…,60的各项的和是480，则公差d=．4解：480,60,41nnSaa2)604(480n15nd)115(4604d7.如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？等比数列的通项公式等比数列的有关概念观察数列(1)2，4，8，16，32，64.(2)1，3，9，27，81，243，…(3)(4)(5)5，5，5，5，5，5，…(6)1，-1，1，-1，1，…定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann以上6个数列的公比分别为…公比q=2递增数列公比q=3递增数列公比d=x公比q=1非零常数列公比q=-1摆动数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。)0(,,,,,1432xxxxx,161,81,41,21公比q=递减数列21等比数列的通项公式如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么,1a,2a,3a,na…，…，qaa12由此可知，等比数列的通项公式为na2123qaqaa3134qaqaa4145qaqaa11nnqaa当q=1时，这是一个常函数。0na例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.例2如果成等比数列的三个数和为7,积为8,求这三个数.等差数列等比数列常数减—除加—乘dnaan)1(1)0(111qaqaann加-乘乘—乘方迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表达式通项公式证明通项公式an-an-1=d（n≥2）)0(1qqaann{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１:{an}为等差数列则an+1-an=d猜想１：性质２：an=am+(n-m)d猜想2：性质３：若a,b,c成等差数列,则2b=a+c猜想3：性质4：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想４：②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，如a1a2=a3成立吗？【说明】3.更一般的情形，an=等比数列的性质1.{an}为等比数列2.a、b、c成等比数列an+1÷an=qan+1=anqan=a1qn-1amqn-mb为a、c的等比中项4.在等比数列{an}中，由mn=pqaman=apaq注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；acbacb2练习:•⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=.•⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.•⒊在等比数列{an}中，a15=10,a45=90,则a60=__________.•⒋在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.-14586270480或-270三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。Sn=a1+a1q+a1q2+···+a1qn-1qSn=a1q+a1q2+···+a1qn-1+a1qn相减(1–q)Sn=a1-a1qn=a1(1–qn)∴当1–q≠0,即q≠1时，Sna1(1–qn)1-q=当q=1时，Sn=na1错位相减法：等比数列｛an｝前n项和公式为当q≠1时Sna1(1–qn)1-q=当q＝1时Sn=na1=a1-anq1-q练习：（1）1＋2＋4＋…＋263＝（2）1－2＋4＋…＋(－2)n-1=（3）等比数列{an}中，a1=8,q=,an=,则Sn=1212（4）等比数列{an}中，a1=2，S3=26,则q=264-11–(-2)n3312-4或3（5）等比数列｛an｝中，S2＝7，S6＝91，则S4＝例3：求数列：1,2x,3x2,…，nxn-1,…（x≠0)的前n项和解：当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2当x≠1时Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nxn错位相减(1–x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=1-xn1-x-nxn∴Sn=1-xn(1-x)2-nxn1-x=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1综上所述：当x=1时Sn=n(n+1)2当x≠1时Sn=(1–x)21–(1+n)xn+xn+1