逻辑学 命题逻辑

第二章命题逻辑学习难点：复合命题的等值转换重点掌握：复合命题推理的有效式掌握：复合命题的形式及其等值转换、重言式的判定方法了解：命题的特征、种类以及命题与判断、语句的关系。第一节命题概述一、命题及其特征1、什么是命题？命题是对事物情况的陈述。例：（1）天下乌鸦一般黑。（2）权利和义务是密不可分的。（3）没有一个人不热爱自己的祖国。（4）国家赔偿责任的构成要件是指国家承担赔偿责任的必要条件。第一节命题概述2、命题的特征：（１）必有所陈述。（2）必有真假。（3）必由两种不同的成分组成。（4）必包含形式和内容两个方面第一节命题概述任何命题都有形式和内容两个方面。任何一个命题形式都由变项和常项两个部分组成，如“有的花是红色的”，“有的鸟会飞”这两个命题所陈述的内容极为不同，但它们却具有相同的形式，都可被表示为：“有S是P”。这里“有……是”等是逻辑常项，也是逻辑联结词，起联结作用，表示被联结部分的逻辑关系。逻辑联结词还有许多：如果……那么；只有……才；并非……等。第一节命题概述注意：逻辑学并不考虑思维的具体内容，并不研究某个特定命题的陈述是否符合客观实际。它只是从命题形式的结构方面研究不同类型命题的真假特征，以及各种命题之间的真假关系。第一节命题概述二、命题与语句命题和语句具有密切的关系，既有联系，又有区别：1、区别：命题和语句分属于不同的研究领域，属于不同的学科范畴。命题是思维形式，是逻辑学的研究对象；语句是语言形式，是语言学的研究对象。2、联系：（1）任何命题都要通过语句来表达。（2）并非所有的语句都表达命题。（3）同一个命题可通过不同的语句来表达。（4）同一个语句可以表达不同的命题。第一节命题概述三、命题与判断命题是对事物情况的陈述，而判断是对陈述事物情况的命题的断定。注意，命题的定义中包含的是“陈述”，而判断的定义中包含的是“断定”。因此，我们说，命题与主体相关，判断是被断定了的命题，凡判断都必须有所断定；而命题可以是已经被断定的，也可以是未被断定的。只有被断定了的命题才可以称为判断。第一节命题概述所有的判断都是命题，但并非所有的命题都是判断。第一节命题概述四、命题的种类1、根据命题中是否包含有命题联结词和其他命题成分，将命题分为简单命题和复合命题。2、根据陈述的是对象的性质还是对象之间的关系，将简单命题划分为性质命题和关系命题。3、根据复合命题包含的联结词的不同，将复合命题划分为负命题、联言命题、选言命题、假言命题、等值命题。4、根据命题中是否包含有模态词，将命题分为模态命题和非模态命题。5、根据命题中是否包含有规范词，将命题分为规范命题和非规范命题。第二节复合命题及其形式一、概述1、复合命题就是包含有命题联结词和其他命题成分（支命题）的命题。２、命题联结词的作用（1）联结支命题。（2）反映支命题之间的逻辑关系即真值关系。（3）在具体思维中还反映支命题在内容上或意义上的联系。第二节复合命题及其形式注意：逻辑学不研究命题联结词所表达的命题之间在内容上或在意义方面的联系，只研究命题联结词所表达的命题之间的真值关系，只研究命题联结词和复合命题的逻辑性质。因此在逻辑学中研究的命题联结词只反映命题之间的逻辑关系即真值关系，而不反映命题之间在内容或意义上的联系，这种联结词称为真值联结词。第二节复合命题及其形式3、基本的命题联结词复合命题的性质是由命题联结词所决定的。联结词的不同，是区分各种类型复合命题的根据。命题之间存在5种基本的逻辑关系即真值关系，用自然语言来表达，分别是：并非……、……并且……、……或者……、如果……则……、……当且仅当……。用现代逻辑引进的人工语言来表达，分别可以记作：┑（否定词）、∧（合取词）、∨（析取词）、→（蕴涵词）、←→（等值词）。第二节复合命题及其形式4、复合命题的真假既与其中所包含的支命题相关，又与命题联结词相关。如：“明天天冷并且刮大风”，如果该复合命题所包含的两个支命题都真，则该复合命题真；如果其中有一假，则该复合命题假。“明天或者天冷，或者刮大风”，如果该复合命题所包含的两个支命题有一个为真，则该复合命题真；只有两个支命题都假时，该复合命题才假。5、多重复合命题第二节复合命题及其形式二、负命题1、什么是负命题（1）定义：负命题就是陈述某个命题不成立的命题。是对某个命题的否定。例：并非罗马法不是成文法。第二节复合命题及其形式（2）结构：两部分支命题：负命题中被否定的命题。也就是原命题。联结词：并非。（3）命题形式：并非p。符号化为：┑p（否定式）．第二节复合命题及其形式2、负命题的真假情况支命题真，负命题假；支命题假，负命题真。支命题与负命题是矛盾关系，互为真假。第二节复合命题及其形式三、联言命题：1、什么是联言命题（1）定义：联言命题是陈述几种事物情况同时存在的复合命题，也叫合取命题。第二节复合命题及其形式（2）结构：两部分。联言支：组成联言命题的支命题。例1：他不但能力强，而且品行好。例2：南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌都是中华神功。联结词：通常用“并且”表示。表示各个联言支间具有同时并存关系。第二节复合命题及其形式（3）命题形式：p并且q。符号化为：p∧q（合取式）第二节复合命题及其形式2、联言命题的真假联言命题是陈述几种事物情况同时存在的复合命题。由此，只有当全部联言支所陈述的情况都存在时，联言命题才是真的。也即：当且仅当联言支全真时，联言命题为真。相反，只要有一个联言支为假，联言命题就必定为假。第二节复合命题及其形式四、选言命题：1、什么是选言命题（1）定义：选言命题是陈述几种事物情况至少有一个存在的复合命题。第二节复合命题及其形式（2）结构：两部分选言支：是选言命题中所包含的其他命题。一个选言命题可有两个或两个以上的选言支。选言命题的联结词：是在选言命题中表示各个选言支之间具有或然（可能）关系的逻辑标志。通常用“或者”表示。第二节复合命题及其形式（3）命题形式：p或者q。符号化为p∨q（析取式）第二节复合命题及其形式2、选言命题的真假一个选言命题，只要有一个选言支真，则此选言命题真；只有当所有的选言支都假时才假。第二节复合命题及其形式五、假言命题1、什么是假言命题（1）定义：是陈述某一事物情况的存在是另一事物情况存在的充分条件的复合命题。例1：如果某甲有选举权，那么某甲一定年满18周岁。第二节复合命题及其形式（2）结构：两部分假言支：假言命题所包含的支命题。包括两个：一个作为原因的称为“前件”，通常用p表示；一个作为结果的称为“后件”，通常用q表示。例1中的“某甲有选举权”是前件，“某甲一定年满18周岁”是后件。假言命题的命题联结词：在假言命题中联结前件与后件并表示前件对后件具有某中条件关系的逻辑标志，通常用“如果……则……”。第二节复合命题及其形式（3）命题形式：如果p，则q。符号化为：p→q（蕴涵式）第二节复合命题及其形式2、假言命题的真假情况一个假言命题，只有当其前件为真，后件为假时为假，其余情况下都为真。第二节复合命题及其形式六、等值命题（1）定义：等值命题就是陈述两种事物情况同时存在或者同时不存在的复合命题。第二节复合命题及其形式（2）结构：两部分等值支：等值命题所包含的支命题。包括两个：“当且仅当”前的称为“前件”，通常用p表示；“当且仅当”后的称为“后件”，通常用q表示。命题联结词：p当且仅当q。符号化为：p←→q（等值式）。第二节复合命题及其形式（3）命题形式：p当且仅当q。符号化为：p←→q（“←→”读做等值；p←→q读做p等值于q）相当于（p→q）∧（p←q）第二节复合命题及其形式2、等值命题的真假情况只有当前后件同真同假时，真；否则，假。第二节复合命题及其形式七、多重复合命题1、什么是多重复合命题（1）定义：支命题中至少有一个是复合命题的命题。多重复合命题是由简单命题和命题联结词经过有限次的联结逐层构成的，是复合命题的有限次的组合。第二节复合命题及其形式（2）分析步骤：分析一个多重复合命题的结构时，第一是要知道这个命题的整体是哪一种复合命题；第二是判明这个命题的各支命题是什么复合命题。例：如果一个人的行为没有社会危害性，或者情节显著轻微危害不大的，则不认为是犯罪。从整体上看，该命题是假言命题；再进一步，其前件由选言命题构成。用符号表示为：(p∨q)→r。第二节复合命题及其形式2、排斥选言命题（1）定义：排斥选言命题是断定选言支中有一个并且只有一个为真的选言命题。如：景阳岗上的武松要么打死老虎，要么被老虎吃掉。（2）形式：要么p，要么q。符号化为：①(p∨q)∧┑(p∧q)②(p∨q)∧(┑p∨┑q)③┑(p←→q)第二节复合命题及其形式（3）排斥选言命题的真假根据排斥选言命题的逻辑性质或特征是几种情况不可能同时存在，因此，它所包含的选言支不能同时为真，也不能同时为假。因此，一个排斥选言命题是真的，有且只能有一个选言支真。如果有两个以上的选言支真，或所有的选言支为假，则该排斥选言命题为假。第二节复合命题及其形式3、必要条件假言命题（1）定义：必要条件假言命题就是陈述一事物情况是另一事物情况存在的必要条件的假言命题。所谓必要条件是指：设有p和q分别为两个事物情况。如果没有p，就必然没有q；而有p，却未必有q（即可能有q，也可能没有q）。这样，p就是q的必要条件第二节复合命题及其形式（２）命题形式：必要条件假言命题的语言表达形式很多：“必须……才能……”、“除非……才能”、“只有……才……”等。例1：没有共产党，就没有新中国。例2：只有某人使用暴力，才有可能构成抢劫罪。例3：除非认识自己的错误，才能改正自己的错误。逻辑学用“只有p，才q”作为代表形式。符号化为：①┑p→┑q②q→p第二节复合命题及其形式（3）必要条件假言命题的真假一个必要条件假言命题，惟有前件假，后件真时，此命题才为假；其余情况下都为真。本节练习题第三节复合命题的重言等值式一、复合命题公式的分类1、重言式：永真式一个复合命题公式是永真式，当且仅当无论其中所包括的命题变项取何值，它总为真。如：p∨┑p，无论p取何值，都永远为真，因而是永真式。第三节复合命题的重言等值式2、矛盾式：永假式一个复合命题公式是永假式，当且仅当无论其中所包括的命题变项取何值，它总为假。如：p∧┑p，无论p取何值，都永远为假，因而是永假式。第三节复合命题的重言等值式3、协调式：可真可假的公式。一个复合命题公式是协调式，当且仅当它对于其中出现的命题变项的某些真值赋值，为真；而对于另一些真值赋值，它为假。如：p∧q，当p真、q也真时，为真；p、q只要有一个为假，则为假。第三节复合命题的重言等值式二、常用的重言等值式（1）p→q←→┑q→┑p例：“如果某人去过现场，他就是作案人”，等值于“如果某人不是作案人，他一定没有去过现场。”（2）p→q←→┑p∨q（3）p∨q←→┑p→q例：“证人或签名，或盖章”，等值于“如果证人不签名，他就盖章”。（4）p∧q←→┑（p→┑q）例：“某犯确有悔改又有立功表现”，等值于“并非如果某犯确有悔改，而无立功表现”第三节复合命题的重言等值式（5）(p←→q)←→(p→q)∧(q→p)（6）(p←→q)←→(p∧q)∨(┑p∧┑q)（7）┑(p→q)←→p∧┑q例：“并非如果天下雨，校运动会就会延期”，等值于“虽然天下了雨，但校运动会不延期”。（8）┑(p∨q)←→┑p∧┑q例：“并非甲或乙都在哲学系”，等值于“甲不在哲学系并且乙不在哲学系”。第三节复合命题的重言等值式（9）┑(p∧q)←→┑p∨┑q例：“并非甲和乙都在哲学系”，等值于“或者甲不在哲学系，或者乙不在哲学系”。（10）┑(p←→q)←→（p→┑q）∧(┑p→q)（11）┑(p←→q)←→(p∧┑q)∨(┑p∧q)例：“并非当且仅当秋高气爽