连续型随机变量及其分布函数

一、概率密度的定义与性质二、常见连续型随机变量的分布三、内容小结第2.3节连续型随机变量及其分布函数性质.0)(,)1(xpx对任意的.d)()(12xxp证明.d)()(xxpF1.,)(,,d)()(),(,)(简称概率密度率密度函数的概称为其中为连续型随机变量则称有使对于任意实数非负函数若存在的分布函数为，为随机变量设XxpXttpxFxxpXxFXx一、概率密度的定义与性质1.定义.连续型随机变量的分布函数是连续函数11xxpSd)(1Sxxpxd)(2证明.d)(xxpxx21)()(}{1221xFxFxXxPxxpxd)(11x2xxxp0)(211221xxdxxpxFxFxXxP)()()(}{)3().()(,)()(xpxFxxp则有处连续在点若4)(}{aFaXP,d)(xxpa}{1}{aXPaXPxxpxxpad)(d)()(1aFxxpxxpad)(d)(.d)(xxpa同时得以下计算公式P40.教材注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即.0}{aXP证明}{aXP.0由此可得xxpxaaxd)(lim0连续型随机变量的概率与区间的开闭无关}{bXaP}{bXaP}{bXaP}.{bXaP.0}{aXP设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有,0}{aXP若是不可能事件}{aX.0}{aXP若X为离散型随机变量,注意连续型离散型是不可能事件则不能确定}{aX.)3(};2{)2(;,)1(:.,1,,arcsin,,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX例1,()lim()xaFaFx故有解(1)因为X是连续型随机变量,,()lim()-xaFaFx,)(连续所以xFaaBAarcsinaaBAarcsin即BA2,0BA2,1.1B.,1,,arcsin121,,0)(axaxaaxaxxF所以,21A解之得)2(aF0)2arcsin(π121aa6ππ121}2{)2(aXaP)(aF.32)()(xFxp的概率密度为随机变量X)3(.,0,,122其它axaxa}.{)(;)(;)(.,,,,,)(2713210432230XPXkxxxkxxpX求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设解,d)()(11xxp由例2的概率密度为知由Xk61)2(.,,,,,)(其它04322306xxxxxp,1d)22(d3043xxxkx得.61k解之得.4,1,43,d)22(d6,30,d6,0,0)(3030xxxxxxxxxxxFxx得由xxxpxFd)()(.4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF即}271{)3(XP)1()27(FF.4841二、常见连续型随机变量的分布).,(~,),(,,,,)(baUXbaXbxaabxpX记为区间上服从均匀分布在区间则称其它具有概率密度设连续型随机变量定义011.均匀分布boaxp)(概率密度函数图形.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab141教材P例3设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的概率密度函数为.,,,)(其它05231xxp设A表示“X的观测值大于3”,解即A={X3}.}2{YP.2720因而有设Y表示“3次独立观测中观测值大于3的次数”,则.,~323BY32132232033213233}3{)(XPAP由于,32d3153x.,.,,,)(分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义XxxexpXx00002.指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数.0,0,0,1)(xxexFx例4设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.120001,0,()0,0.xexFxxX的分布函数为解}1000{)1(XP}1000{1XP)1000(1F.607.021e}10002000{)2(XXP}1000{}1000,2000{XPXXP}1000{}2000{XPXP}1000{1}2000{1XPXP)1000(1)2000(1FF.607.021e指数分布的重要性质:“无记忆性”.).,(~,,,)(,,,π)()(2202122σμNXσμXσσμxeσxpXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义3.正态分布(或高斯分布)正态分布概率密度函数的几何特征;)1(对称曲线关于μx;π)(,)(σxpμx212取得最大值时当;)(,)(03xpx时当;)4(处有拐点曲线在σμx,,,;(6)()σμpxx当固定改变的大小时图形的形状不变只是沿着轴作平移变换;)5(轴为渐近线曲线以x.,,,,,)(,,)7(图形越矮越胖越大图形越高越瘦越小而形状在改变不变图形的对称轴的大小时改变当固定σσxpσμ正态分布的分布函数teσxFxσμtd21)(222)(正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布下的概率计算teσxFxσμtd21)(222)(}{xXP?原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算方法二:转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,π21)(22xexx标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为.,d21)(22xtexxt标准正态分布的图形标准正态分布函数的性质：11(0)2（）(2)()xx(-)=1-}.225.1{),1,0(~XPNX求已知解}225.1{XP)25.1()2(8944.09772.0例5.0828.0{1},PX{||3}.PX{1}PX1{1}PX10.84130.1587{||3}PX(3)(3)2(3)120.998710.9974：正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系).1,0(~),,(~2NσμXZσμNX则若引理证明的分布函数为σμXZ}{xZPxσμXP}{σxμXP,d21222)(σxμσμtteσ得令,uσμt}{xZPxuued2122),(x).1,0(~NσμXZ故则当时，其分布函数可以用标准正态分布的分布函数表示，2(,)XN()Fx()x()Fx{}PXx22()21d,2tμxσetσ,tμuσ令得{}PZx221d2xμuσeu()xμσ()Fx2~(,),{}.XNμσPcXd已知求例7解：{}PcXd()()FdFc.dμcμσσ分布函数概率密度三、小结2.常见连续型随机变量的分布xttpxFd)()(.连续型随机变量1均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布正态分布有极其广泛的实际背景,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度;炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.3.正态分布是概率论中最重要的分布另一方面,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布都是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换解1xxpd)(由,1d03xKex,3K得.,,,)(00033xxexpx得xxpXPd)(}.{.1010xexd31.03.7408.0}..{,.,,)(100003XPKxxKexpXx并求试确定常数的概率密度为设随机变量例1备份题.0244,)5,0(2有实根的概率求方程上服从均匀分布在设kkxxk解,,12有实根时或即kk,0)2(16162时当kk则有实根的概率为.53d5152x例2