等比数列概念与性质(2课时)

名称等差数列概念常数数学符号等差中项通项dnaan)1(1知识回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数公差(d))1(11ndaadaannnn或nnnaaa211情景展示（1）细胞分裂个数4庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分组成数列：情景展示（2）即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息。情景展示（3）现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是：时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年第2年第3年第4年第5年10000100001.0198100001.01982100001.01983100001.01984100001.01985100001.01984100001.01983100001.01982100001.01986思考：以上数列有什么共同特点？(1)(2)16,8,4,2,1161,81,41,21,1（3）.0198.110000,0198.110000,0198.110000,0198.110000,0198.1100005432一、等比数列定义一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）1()nnaqnNa{an}是等比数列课堂互动(1)1，1，3，9，27，81，…(3)5，5，5，5，5，5，…(2),161,81,41,21,1观察并判断下列数列是否是等比数列:(4)1，0，1，0，1，…(5)0，0，0，0，0，…如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么这三个数之间有什么关系？你能用a，b表示G吗？问题1：（1）4和6的等比中项是______(2)-4和-6的等比中项是_____(3)4和-6的等比中项是______等差数列通项公式的推导:(n-1)个式子daa12daa23daa34daann21daann1……dnaan)1(1(累加法)1nnaadqaann1等比数列通项公式的推导：2n(n-1)个式子11nnqaa……累乘法qaa12qaa23qaa34qaann1等比数列的通项公式11nnqaa等比数列，首项为,公比为q,则通项公式为na1a00naq..20102,31,9413213naaaaqa求，；求na典型例题例1：等比数列中，已知例2：数列中，证明：数列为等比数列。na53lgnanna,1,12,111nnnnabaaa变式：已知nb证明：数列是等比数列。1、等比数列{an}中，a4·a7=－512，a3+a8=124,公比q为整数，求a10.法一：直接列方程组求a1、q。法二：在法一中消去了a1，可令t=q5法三：由a4·a7=a3·a8=－5120512124323aa412833aa或128441288383aaaa或∵公比q为整数128483aa3241285q2q∴a10=a3×q10－3=－4×(-2)7=512等比数列名称等差数列概念常数性质通项通项变形dnaan)1(1()nmaanmd*(,)nmN回顾小结11nnqaanmnmaaq*(,)nmN从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数公比(q)q可正可负,但不可为零从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数公差(d)d可正可负,且可以为零符号表示：1nnaqa等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比常用q表示(q≠0）*()nN等比数列(符号)定义：1{}nnnaaa若（nN),则数列是=q等比数列.1{}nnnaqaa是等比数列.定义公比(差)等比(差)中项通项公式性质(若m+n=p+q)1nnaadq≠0且q∈Rd∈R等比中项Gab等差中项2Aab11nnaaq1(1)naandmnpqaaaamnpqaaaanmnmaaq()nmaanmd等差数列(AP)1nnaqa等比数列(GP)对通项公式的理解①函数观点：它是与指数函数y=ax有关的一个函数.(图像特征?)②方程思想：方程中有四个量,它们是an,a1,q,n.知道其中三个量,能求第四个量.11nnqaa③其他形式：an=amqn-m44342,2,27,3,,3)12,18,,nnnqaaaqaaaan171例1：等比数列{a}中1）a求，2)求a求a1231232{},78nnaaaaaaaa、等比数列，求3441111)22nnnaaqaaq3374444412)27(3)72927(3)(1)3nnnnnaaqaaq21112111727aaqaqaaqaq、2131(1)7()8aqqaq122qq或11161633),()332nnaa例2已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证{an·bn}是等比数列。证明：设数列{an}的首项为a1，公比为p；{bn}的首项为b1，公比为qnnnnbaba11=11111)()(nnpqbapqba111111nnnnqbpaqbpa==pq所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列总结:判定或证明一个数列为等比数列的方法是采用定义或证明)0(112nnnnaaaa变式2:问数列是等比数列吗?{}nnab变式3:对等比数列若取出所有偶数项组成一个新的数列,问此数列还是等比数列吗?若是,它的首项和公比分别为多少?变式4:若取出的是呢?,...,,302010aaa变式1:问数列是等比数列吗?{}nnba152637243546{},2100236naaaaaaaaaaaaa在正项等比课堂练习数列中，，求数：列的通项公式.2543223552235535353235235335525365765510036,,82210023610106610,,228naaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaqaaaa12233433（）（）或：由条件，得因，或解而，13136222.nnnnnnaaqaqa或q2因或=此，