【红对勾】2015-2016学年人教版高中数学必修4课件：3-1-2-2两角和与差的正弦、余弦、正切

第三章三角恒等变换系列丛书进入导航第三章三角恒等变换RJA版·数学·必修4第三章三角恒等变换系列丛书进入导航3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式RJA版·数学·必修4第三章三角恒等变换系列丛书进入导航3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4第2课时两角和与差的正切公式提高篇课时作业预习篇课堂篇巩固篇第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41.理解两角和与差的正切公式及其推导过程.2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用.学习目标第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4重点：记住并会应用两角和与差的正切公式；难点：灵活运用公式进行求值、化简、证明.重点难点第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4预习篇01新知导学第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗？答：(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修41．对两角和与差的正切公式的三点说明(1)比较tan(α＋β)与tan(α－β)，它们都是角的正切，只是角的形式不同，容易混淆．(2)两角和与差的正切公式的推导过程是同角三角函数的基本关系sinxcosx＝tanx的又一次展现．(3)公式的适用范围：α，β，α＋β，α－β≠π2＋kπ(k∈Z)．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修42．两角和的正切公式的常用变形形式(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β.(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.于是由正切公式可知，tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一．注意公式的正用、逆用、变形使用．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4课堂篇02合作探究第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例1】求值．(1)1＋tan15°1－tan15°；(2)tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°.【分析】(1)采用巧用“1”的代换后，转化成两角和的正切形式．(2)可以直接利用公式的变形，口答得出结果，若在选择填空中，可以套入结论处理．两角和与差的正切公式的简单应用第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan15°tan45°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.(2)由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35°，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(1)3－tan105°1＋3tan105°等于()A．－1B．1C．－3D．－33(2)若α＋β＝π3，tanα＋3(tanαtanβ＋c)＝0(c为常数)，则tanβ＝________.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：(1)3－tan105°1＋3tan105°＝tan60°－tan105°1＋tan60°tan105°＝tan(－45°)＝－1.(2)∵α＋β＝π3，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，∴tanα＋tanβ＋3tanαtanβ＝3，∴tanα＋3tanαtanβ＋3c＝3－tanβ＋3c＝0，∴tanβ＝3(c＋1)．答案：(1)A(2)3(c＋1)第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例2】已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．【分析】已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正切，必须通过角的变换，2α－β＝α＋(α－β)，α＝(α－β)＋β，故需先求出α角的正切．给值求值(角)第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】∵tanβ＝－17，tan(α－β)＝12，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171－12×－17＝13，tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝12＋131－13×12＝1.∵tanα＝130，tanβ＝－170，∴α∈0，π2，β∈π2，π，∴α－β∈(－π，0)．又∵tan(α－β)＝120，第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4∴α－β∈－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－34π.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4通法提炼1关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解.2关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知tanα＝13，tanβ＝－2，且0απ2βπ，求(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解：(1)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝13－－21＋13×－2＝7.(2)∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝13＋－21－13×－2＝－1，第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4又0απ2，π2βπ，∴π2α＋β32π，∴α＋β＝34π.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【例3】(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tanC＝________.(2)在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．两角和与差的正切公式的综合应用第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【解】(1)由题意可知tanA＋tanB＝－83，tanA·tanB＝－13，由两角和的正切公式得tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－831－－13＝－2，又A＋B＋C＝π，所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2，故填2.【答案】2第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4(2)由tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3得tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanB·tanC＝3－3tanB·tanC1－tanBtanC＝3，又0B＋Cπ，∴B＋C＝π3，①又由3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB得tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanA·tanB第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4＝33tanA·tanB－11－tanA·tanB＝－33.又0A＋Bπ，∴A＋B＝56π，②由①、②及A＋B＋C＝π解得B＝π6，C＝π6，A＝23π.所以△ABC为等腰三角形．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2απ2，－π2βπ2，则α＋β的值为()A.π3B．－2π3C．－2π3或π3D．无法确定第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4解析：由已知得tanα＋tanβ＝－33①tanα·tanβ＝4②所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，又由①、②可知tanα0，tanβ0.∴－π2α0，－π2β0，∴－πα＋β0，∴α＋β＝－23π.故选B.答案：B第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4提高篇03自我超越第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4——易错警示系列——忽视公式的成立条件致使过程出错【例】已知tanα，tanβ是方程x2＋px＋q＝0的两个根，求sin2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)＋qcos2(α＋β)的值．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【错解】∵tanα＋tanβ＝－p，tanαtanβ＝q，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－p1－q，原式＝sin2α＋β＋psinα＋βcosα＋β＋qcos2α＋βsin2α＋β＋cos2α＋β＝tan2α＋β＋ptanα＋β＋qtan2α＋β＋1＝q.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【错解分析】公式T(α＋β)的适用范围是α，β，α＋β均不为kπ＋π2(k∈Z)，忽视α＋β＝kπ＋π2(k∈Z)的情况，是常见的错误．第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4【正解】∵tanα＋tanβ＝－p，tanα·tanβ＝q，∴当α＋β＝kπ＋π2(k∈Z)时，tanα·tanβ＝1，sin(α＋β)＝1，cos(α＋β)＝0或sin(α＋β)＝－1，cos(α＋β)＝0.∴原式＝1＝q.当α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)时，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝－p1－q.∴原式第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4＝sin2α＋β＋psinα＋β·cosα＋β＋qcos2α＋βsin2α＋β＋cos2α＋β＝tan2α＋β＋ptanα＋β＋qtan2α＋β＋1＝q.综上，原式＝q.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入导航RJA版·数学·必修4已知tanα＝3(1＋m)，3(tanαtanβ＋m)＋tanβ＝0，且α，β都是锐角，则α＋β＝________.第三章·3.1·3.1.2·第2课时系列丛书进入