计量经济学第6章 异方差性

计量经济学—理论·方法·EViews应用郭存芝杜延军李春吉编著电子教案第六章异方差性◆学习目的通过本章的学习，你可以知道什么是异方差性，异方差性是如何形成的，异方差性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有异方差性的模型。◆基本要求1)掌握异方差性的概念、异方差性的后果和几种常见的检验方法。2)了解加权最小二乘法原理，并能运用加权最小二乘法估计线性回归模型。3)了解异方差稳健推断原理。◆异方差性及其产生原因◆异方差性的影响◆异方差性的检验◆异方差性的的修正第六章异方差性对于模型ikikiiiiXXXY2210如果出现Varii()2即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。第一节异方差性及其产生的原因一、异方差的概念同方差假设为2)(iVar二、异方差的类型同方差：i2=常数f(Xi)异方差：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而增大(2)单调递减型：i2随X的增大而减小(3)复杂型：i2与X的变化呈复杂形式方差已经不是常数，它随着X的变化而变化。三、异方差产生的原因例6-1居民储蓄模型在截面资料下研究居民家庭的储蓄行为，假定储蓄行为模型为01iiiSYiSiY其中，为第i个家庭的储蓄额，为第i个家庭的可支配收入。析：iiiY在该模型中，假定的方差为常数往往不符合实际情况。对于高收入的方差往往随的这属于递增型异方差。家庭来说，储蓄的差异较大；低收入家庭的储蓄则更有规律性（如为某一特定的目的而储蓄），差异较小。因此增加而增加，三、异方差产生的原因例6-2干中学模型人们在学习的过程中，其行为误差随时间而减少。在这种情况下，会减小。i2i的方差可以预料例如，考虑一次打字测验，在给定的一段时间里，打字出错个数与用于打字练习的小时数有关系。随着打字练习小时数增加，不仅平均打错字个数下降，而且打错字个数的方差也下降，这属于递减型的异方差。资料收集技术的改进可能会使2i减小。例如，相较于没有先进设备的银行，那些拥有先进数据处理设备的银行，在他们对帐户的每月或每季财务报告中，会出现更少的差错。三、异方差产生的原因例6-3股票价格和消费者价格：异常观测值的出现往往带来异方差澳大利亚奥地利比利时加拿大智利丹麦芬兰法国德国印度爱尔兰以色列意大利日本墨西哥荷兰新西兰瑞典英国美国0510152025300510152025消费者价格（%）股票价格变化率考虑如下20个国家在第二次世界大战后直至1969年间的股票价格（Y）和消费者价格(X)的百分比变化的散点图。图中，对智利的观测值Y和X远大于对其他国家的观测值，故可视为一个异常值，在这种情况下，同方差性的假定就难以维持了。三、异方差产生的原因例6-4假性异方差：回归模型设定形式不正确所带来的两个变量有真实关系：201iiiYX其中i满足线性回归模型的假定，即满足零均值和不变方差的假定。01iiiYX如果我们误以为Y和X之间的关系为：并认为()0iE，那么2220011()()(()())iiiiiVarEEXX记20011()()()iiifXXX，则2222()()(())()iiiiiVarEEfXfX()iVariX因此是的函数，即我们建立的模型具有异方差。一般经验告诉我们，对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存在异方差性。第二节、异方差性的后果计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：1.参数估计量非有效OLS估计量仍然具有线性性、无偏性，但不具有有效性因为在有效性证明中利用了E(’)=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。为详细说明异方差使OLS参数估计量的无效性，我们考虑一元回归模型：（6-2）01iiiYX该模型参数的OLS估计量可以写为对于该模型，我们假定除同方差假设外，其他的高斯马尔科夫假设都成立。如果模型随机误差项包含异方差，那么有2(|)iiiVarX这一异方差取决于iX的值。12ˆiiixyx2211221ˆ()()niiiniixVarx（6-3）212ˆ()iVarx（6-4）显然（6-3）式与（6-4）式不同，只有在22i时两者才是相同的。在上述给定的异方差情况下，1ˆ的方差为容易证明而同方差假设下，1ˆ的OLS估计方差为2.变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此，F检验、LM检验失效！！标准差偏误的方向总而言之，在异方差情况下，我们建立在高斯马尔科夫定理基础上的用来检验各种假设的统计量都不再是有效的，因而OLS估计量不再是最佳线性无偏估计量（即不具有BLUE性质）。3.模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，仍然使用OLS估计量，将导致预测区间偏大或者偏小，预测功能失效。4.随机误差项方差估计量是有偏的221ˆ2ntten一元第三节、异方差性的检验检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。•问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近似估计量”，用~ei表示。于是有VarEeiii()()~22~()eyyiiils0几种异方差的检验方法：1.图示法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）(2)X-~ei2的散点图进行判断看是否形成一斜率为零的直线~ei2~ei2XX同方差递增异方差~ei2~ei2XX递减异方差复杂型异方差2.帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验基本思想:偿试建立方程：ijiiXfe)(~2或ijiiXfe)(|~|选择关于某一个变量Xj的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。如：帕克检验常用的函数形式：ieXXfjiji2)(或ijiiXelnln)~ln(22若在统计上是显著的，表明存在异方差性。该检验的困难在于需要选择不同的解释变量，尝试各种不同的函数形式，进行多次反复试验，并且在进行实验的回归模型中，其随机干扰项本身就可能不满足OLS的经典假设。G-Q检验的思想：先按某一解释变量对样本排序，再将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验，该统计量服从F分布。G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。3.戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验G-Q检验的步骤：①将n组样本观察值按某一被认为有可能引起异方差的解释变量观察值Xj的大小排队；②将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2；③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和；④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量)12,12(~)12(~)12(~2122kcnkcnFkcnekcneFii是两个残差平方和之比。小大⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，若FF(v1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。注意：1）G-Q检验结果有时要依赖于省略的样本个数c的大小。根据蒙特卡洛试验结果和实际经验，Judge等人建议若T为30左右，c取4；若T为60左右，c取10。2）G-Q检验需要按照某一被认为有可能引起异方差的解释变量观察值的大小排序，因此，可能需要对各个解释变量进行轮流试验，而且它只适合检验单调递增或递减型异方差。4、F检验考虑我们常用的多元线性回归模型我们想检验是否与一个或者多个解释变量相关。2ikikiiiXXXY22110i=1,2…,n辅助回归:ikikivXXe......1102ikikivXXe......1102F检验：)1/()1(/:2ˆ2ˆ022knRkRFHee同方差对上式OLS回归后得到的拟合优度为2ˆ2eR（6.9）5、拉格朗日乘子检验222ˆ~keLMnR(6-11)用于检验异方差的LM统计量可以通过下式得到步骤（1）用OLS估计模型，得到OLS回归残差平方2ˆie序列。（2）对（6-9）进行回归，记下回归得到的拟合优度。22ˆeR（4）如果LM检验的P值很小，那就应该采取一些纠正的措施，一个可能的措施就是用异方差稳健标准差和前面讨论过的检验统计量。（3）计算LM统计量相应的P值（查2分布表得到的概率），如果P值足够小，即小于给定的显著性水平的话，那么我们就拒绝同方差的零假设。渐进服从自由度为解释变量个数的卡方分布。6.怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差。怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：iiiiXXY22110然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102~可以证明，在同方差假设下：(*)R2为(*)的可决系数，h为(*)式解释变量的个数，表示渐近服从某分布。二次项交互项卡方分布表注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交互项。2~ie去掉交互项是一种方法，另一种方法也可以用原来模型OLS回归得到的Y的拟合值作为辅助回归中的解释变量：在进行怀特异方差检验时，建立如下辅助回归：然后在计算LM统计量22102ˆˆˆYYe例子6-5异方差检验的说明性例子P160图示法G-Q检验F检验LM检验怀特检验第四节异方差性的修正一、异方差稳健推断二、加权最小二乘法一、异方差稳健推断如何调整标准差、t统计量、F统计量、LM统计量以使得他们在存在未知形式的异方差时仍然有效。这就意味着我们可以报告新的有效统计量，这种方法就是异方差稳健推断（Heteroskedasticity-RobustInference）。定义：我们先看看在异方差情况下，怎样推断参数估计量的方差()jVar。在大样本情况下，异方差稳健估计量是有效的。对于一般的多元回归模型0112212iiikkiiYXXXin，，，（6-21）假定随机误差项除了是异方差外，其他的高斯-马尔科夫假设满足，那么()jVar的有效估计量为2212ˆˆˆ()nijiijjreVarRSS（6-22）ˆijrjXjRSS这里为来自用对所有其他的解释变量进行回归得到的第i个残差，是该回归的残差平方和。上式的证明超过了本书的范围！（6-22）开方就是的异方差稳健标准差。jˆ一旦获得了异方差稳健标准差，就可以构造异方差稳健t统计量。稳健标准差的优点在于：不需要知道总体模型是否存在异方差以及是何种形式的异方差。异方差稳健标准差比普通的OLS标准差更有效。在大样本下，截面数据分析