1.2 热传导方程的导出与定解条件

11公共邮箱:[e-mail]密码：12345621.2热传导方程与定解条件),,(zyxt热传导现象：一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出热传导方程。为此，我们用函数如果空间某物体G内各处的温度不同，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点流动。表示物体G在位置),,,(tzyxu处及时刻的温度。3热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：物体在无穷小时段内流过一个无穷小面积dtdSdQdSnu,),,(dSdtnuzyxkdQ),,(zyxk),,(zyxkndS的热量与物体温度沿曲面法线方向的方向导数成正比，即其中称为物体在点处的热传导系数，为正值。当物体为均匀且各向同性时，为常数，为曲面沿热流方向的法线。公式中的“负号”表示热量流向总是和温度梯度的方向相反。4u,2tnu,][211dtdSnukQtt1t,u为了导出温度所满足的方程,在物体G内任取一闭曲面它所包围的区域记作则从时刻到时刻经过曲面流入区域的热量为其中表示对曲面的外法向导数..coscoscoszuyuxunu5),(21tt),,,(1tzyxu),,,(2tzyxu,)],,,(),,,()[,,(),,(122dvtzyxutzyxuzyxzyxcQc流入的热量使区域内部的温度发生变化,在时间间隔中物理温度从变化到所需要的热量为其中为物体的比热,为物体的密度.如果所考察的物体内部没有热源,由于热量守恒,12QQdvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][6先对1Q,][211dtdSnukQtt进行变形.])coscoscos([211dtdSzuyuxukQtt利用奥-高(Gauss)公式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(uzyx,,t1Q;})]()()([{211dtdvzukxyukyxukxQtt设函数关于变量具有二阶连续偏导数,关于变量具有一阶连续偏导数,可化为72QdvtzyxutzyxucQ)],,,(),,,([122dvdttuctt)(21,)(21ttdtdvtuc而可化为因此由dvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][21)(ttdtdvtucdtdvzukxyukyxukxtt})]()()([{21移项即得（利用牛顿-莱布尼兹公式）8.0})]()()([{21dtdvzukxyukyxukxtuctt2,1tt,,ck,/2ack).(2222222zuyuxuatu由于与区域都是任意取的,并且被积函数是连续的,于是得).()()(zukxyukyxukxtuc上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.如果物体是均匀的,此时为常数,记则得齐次热传导方程9),(21tt),,,,(tzyxF.)),,,((213dtdvtzyxFQtt如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有电流,或有化学反应等情况),设热源密度(单位时间内单位体积所产生的热量)为则在时间间隔中区域内所产生的热量为同样由于热量要平衡,dvtzyxutzyxuc)],,,(),,,([12dtdSnuktt21][.)),,,((21dtdvtzyxFtt10dtdvzukxyukyxukxtuctt})]()()([{21.)),,,((21dtdvtzyxFtt).,,,()()()(tzyxFzukxyukyxukxtuc).,,,()(2222222tzyxfzuyuxuatu./),,,(),,,(ctzyxFtzyxf其中非齐次热传导方程相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。11二、定解条件初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况。),,,(|),,,(0zyxtzyxut),,(zyx),,,,(1tzyxf),,,,(|),,,(1tzyxftzyxuS其中为已知函数。1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体表面温度函数为即.),,(Szyx122、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）,|Snukq,q),,,,(|2tzyxfnuS特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,绝热性边界条件已知物体表面上各点的热流量kqtzyxf/),,,(20t.0|Snu也就是说在单位时间内流过单位面积的热量是已知的，其中由傅里叶实验定律可知是定义在边界曲面S，且上的已知函数。则相应的边界条件为133、第三类边界条件（鲁宾Robin）,1u.u,)(1dSdtuuhdQ考察将物体置于另一介质中的情形.设和物体接触的介质温度为物体表面上的温度为h若物体表面温度与介质温度不相同,则在物体表面处与周围介质产生热交换.利用热传导中的牛顿实验定律:物体从一介质到另一个介质的热量与两介质间的温度差成正比,其中的比例常数成为两介质间的热交换系数.即可得流过物体表面S的热量为14,1S1S1S,dSdtnukdQ,)(1dSdtuuhdSdtnuk.1huhunuk由于热量在物体表面不能积累,现在物体内部作一无限贴近物体表面S的闭曲面则在曲面上的热流量应等于表面S上的热流量.流过曲面的热量为则有关系式),,,(3tzyxf),,,,(|)(3tzyxfunuS,kh0,),,(tSzyx其中是定义在上的已知函数.151.3拉普拉斯方程与定解条件0222222zuyuxu0u.02u1.三维拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连续函数为调和函数.(调和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律.16).,,(222222zyxfzuyuxu),,(zyxfu).,,(2zyxfu2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的边值问题第一边值问题(狄氏问题)17),,(zyxu,f.|fu在空间某一区域的边界上给定了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上与给定的函数f重合,即第二边值问题(诺伊曼问题)),,(zyxu,f在空间某一区域的边界上给定了连续函数要求函数在闭区域上连续且在内调和,在边界上法向导数nu存在,且有,|fnu其中n是外法线方向.181.4基本概念与基本知识,0yyxxuu1.古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数,且满足该方程.2.自由项:偏微分方程中不含有未知函数及其各阶偏导数的项.例如:.822xuuyx齐次偏微分方程(自由项为0)非齐次偏微分方程(自由项不为0)193.叠加原理),,2,1(222222ifFuyuExuDyuCyxuBxuAi),2,1(iuiifFA,考察二阶线性偏微分方程yx,iiiiiiifFuyuExuDxuCyxuBxuA222222其中都是某区域上的已知函数.叠加原理设是方程(1)中第i个方程的解,(1)20iiifcFuyuExuDxuCyxuBxuA12222220if.0222222FuyuExuDxuCyxuBxuA),2,1(iui1iiiucu),2,1(ici如果级数(2)收敛,其中为任意常数,并且它还能够逐项微分两次,则级数(2)是下方程的解特别地,当方程(1)中的自由项时,则得相应的齐次方程为若是方程(3)的解,则级数(2)也是方程(3)(3)的解.214.傅里叶(Fourier)级数设周期为l2)(xfnnba,的函数可展开成傅里叶级数,则,)sincos(2)(10nnnlxnblxnaaxf),,2,1,0(cos)(1ndxlxnxflalln).,3,2,1(sin)(1ndxlxnxflblln(4)其中傅里叶系数满足(5)22)(xf)(xf当为奇函数时当为偶函数时,sin)(1nnlxnbxf,cos2)(10nnlxnaaxf).,2,1,0(cos)(20ndxlxnxflaln).,3,2,1(sin)(20ndxlxnxflbln(5)(6)23补充：三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx],[,0cossinnxdxmx.,,,0sinsinnmnmnxdxmx.,,,0coscosnmnmnxdxmx.0cossinnxdxnxdx在上正交。24补充：三角函数积化和差公式)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos255.两个自变量的二阶微分方程的分类一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状yx,fcbbaaa,,,,,,21221211),(00yx),(00yx,221221211fcuububuauauayxyyxyxx(7)其中等都是自变量在区域上的实函数，并假定他们是连续可微的。若在区域上每点,02211212aaa则称方程(7)在每点为双曲型的；那么也则称方程(7)在区域内是双曲型的。26),(00yx),(00yx若在区域上每点,02211212aaa则称方程(7)在每点为椭圆型的；那么也则称方程(7)在区域内是椭圆型的。),(00yx),(00yx若在区域上每点,02211212aaa则称方程(7)在每点为抛物型的；那么也则称方程(7)在区域内是抛物型的。27例如：xxttuau20yyxxuuxxtuau20)(102a0)(002a0110双曲型抛物型椭圆型