7-1二次型及化二次型为标准形

第七章二次型第一节二次型及化二次型为标准形引入:解析几何中二次曲线的一般方程为二次项一次项常数项平方项交叉项若仅考虑二次项:二元二次齐次多项式函数推广n元二次齐次多项式函数022222feydxcybxyax222),(cybxyaxyxf一、二次型的概念22232232222113113211221112122222,,,nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf称为二次型，简记为.定义1含有个变量的二次齐次多项式函数nnxxx,,,21fija当是复数时，称为复二次型；fija当是实数时，称为实二次型.f本章只研究实二次型.例如312322213214542,,xxxxxxxxf都为二次型；23222132144,,xxxxxxf323121321,,xxxxxxxxxf2212132152,,xxxxxxxf而，则不是二次型.只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形．定义2二、二次型的矩阵表示方法对二次型于是nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa22232232222113113211221112122222,,,nnnnnnnnxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxfaaijji若取，,2xxaxxaijjijiijjiijxxa则)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121,,,nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,.)(),,,(21AXXXfxxxfTn,,21212222111211nnnnnnnxxxXaaaaaaaaaA若记则二次型可记作：其中为一个对称矩阵.A在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对二次型定义3，AXXXfxxxfTn)(),,,(21对称矩阵叫做二次型的矩阵；Af叫做对称矩阵的二次型；Af对称矩阵的秩叫做二次型的秩.Af解例1写出对称矩阵所对应的二次型402032221AAXXfT321321402032221,,xxxxxx23223121214344xxxxxxx解,3,2,1332211aaa,22112aa,03113aa.33223aa.330322021A32212322216432xxxxxxxf例2求二次型的矩阵及秩，并将其表示成矩阵形式.所以二次型的矩阵为：f又，所以的秩为3.3)(Arf且的矩阵形式为：f.330322021,,321321xxxxxxf注标准形的矩阵为对角阵.三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．（1）线性变换nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,定义4称为由变量到的线性变换.nxxx,,,21nyyy,,,21，nnnnnncccccccccC212222111211.CYX若记,21nxxxXnyyyY21则上述线性变换可记作矩阵形式：若，即可逆，则称为可逆线性变换.0CCCYX（2）对二次型作可逆线性变换则有AXXfT)()(CYACYTACYCYTTYACCYTT)(令，ACCBT显然为对称矩阵.B若对二次型，CYX，AXXXfxxxfTn)(),,,(21作可逆线性变换：则，BYYfT为一个关于变量的二次型.nyyy,,,21定义5对阶矩阵，若存在阶可逆矩阵，使得nBA,nCACCBT则称矩阵与合同.AB注1.经过可逆线性变换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的，即对二次型进行可逆线性变换就相当于对二次型的矩阵进行合同变换.对进行的运算称为对进行合同变换.AACCTA2.可逆线性变换不改变二次型的秩.（3）用正交变换化二次型为标准形定义6若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.QYXQ将此结论应用于二次型有如下定理:,2222211nnyyyf定理1任给二次型，总存在正交变换，使化为标准形QYXf其中是的矩阵的全部特征值.n,,,21fAAXXXfT)(由前章内容知道，对任意的实对称矩阵，存在正交矩阵，使得，即.AQAQQ1AQQT用正交变换化二次型为标准形的具体步骤f1.写出二次型的矩阵；An,,,213.求出对应于特征值的特征向量；4.将正交化，单位化，得；n,,,21n,,,21n,,,212.求出的所有特征值；AnQ,,,21.2211nnyyf则得的标准形：QYXf5.令，作正交变换，323121232221844141417xxxxxxxxxf例3将二次型通过正交变换，化成标准形.QYX解144241422217A144241422217EA9182从而得特征值.18,93211、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值得基础解系代入将,091xEA2、求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,0122TT102311211T3、将特征向量正交化,22,),(),(2222333得正交向量组：T154523令，11211T,0122T333222111,,得,051522,3232311.4554544523.04553245451324525231QQ4、将正交向量组单位化令5、构造正交矩阵令则原二次型经过正交变换，23222118189yyyfQYX即32145532454513245252313210yyyxxx可化为标准形：注1、二次型的化简，在理论和实际中经常遇到。正交变换化二次型为标准型的方法，是通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简问题转化为对称矩阵的对角化问题，而这是已经解决了的问题。2、实二次型的化简，并不局限于使用正交变换法，根据二次型本身的特点，也能找到另外一些可逆线性变换化二次型为标准型，如拉格朗日配方法。3、用正交变换化二次型为标准形的方法可以保持二次型图像的大小、夹角都不变。而一般的可逆线性变换化二次型为标准型可能会使得图形的几何形状发生变化。化为标准型，并指出表示何种二次曲线.1,21xxf2122212132,xxxxxxf例4求一正交变换，将二次型21,2521解212323A二次型矩阵为可得特征值为：.13,3121对应的特征向量分别为：,2321111.2123222将其单位化得：,212123232121yyxx故可对原二次型作正交变换yyf222121251),(21xxf可化原二次型为：可知表示椭圆.小结：将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于不同问题的不同要求：如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．但是需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数就等于所给二次型的秩．