拉普拉斯变换

第9章拉普拉斯变换THELAPLACETRANSFORM4.双边拉普拉斯变换的性质；本章基本内容：1.双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；5.系统函数；6.单边拉普拉斯变换；3.零极点图；9.0引言Introduction傅里叶变换是以复指数函数的特例和为基底分解信号的。对更一般的复指数函数和，也理应能以此为基底对信号进行分解。jtejnestenz傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切LTI系统的特征函数。通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。9.1拉普拉斯变换复指数信号是一切LTI系统的特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应为，则系统对产生的响应是:ste()htste()()stytHse()()stHshtedt，其中显然当时，就是连续时间傅里叶变换。sjTheLaplaceTransform一.双边拉氏变换的定义：()()stXsxtedt称为的双边拉氏变换，其中。()xtsj若，则有:0sj()()jtXjxtedt这就是的傅里叶变换。()xt表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在或是在轴上的特例。0j()()[()]tjttjtXsxteedtxteedt[()]txteF[由于所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。()xtte()txte()()atxteut例1.()001()atstsatXseedtedtsaRe[]sa在时，积分收敛。当时，的傅里叶变换存在()xt0a01()atjtXjeedtaj(0)a显然，在时，拉氏变换收敛的区域为，包括了（即轴）。0aRe[]sa0j比较和，显然有()Xj()Xs()()sjXsXj当时，()()()atxteutut0a1()uts可知Re[]0s例2.()()atxteut00()1()atstsatXseedtedtsaRe[]sa与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的收敛域。拉氏变换的收敛域ROC（RegionofConvergence）对拉氏变换是非常重要的概念。3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。j()()sjXjXs5.如果拉氏变换的ROC包含轴，则有4.只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。二.拉氏变换的ROC及零极点图：2()()()ttxteuteut例3.200()tsttstXseedteedt1(),1teutsRe[]1s21(),2teutsRe[]2s1j2j可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。ROC总是以平行于轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的分母的根相对应的。j()XsRe[]1sj2121123(),1232sXsssss分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。将的全部零点和极点表示在S平面上，就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个，最多与真实的相差一个常数因子。()Xs()Xs()XsM因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。若是有理函数()Xs()()()()()iiiisNsXsMDss9.2拉氏变换的收敛域•可以归纳出ROC的以下性质：TheRegionofConvergenceforLaplaceTransformsj4.右边信号的ROC位于S平面内一条平行于轴的直线的右边。3.时限信号的ROC是整个S平面。2.在ROC内无任何极点。j1.ROC是S平面上平行于轴的带形区域。0()tTxtedt若，则101()tTxtedt010100()()()()ttTTtTxteedtextedt1表明也在收敛域内。若是右边信号,,在ROC内，则有绝对可积，即：00()txte()xtTt5.左边信号的ROC位于S平面内一条平行于轴的直线的左边。j若是左边信号，定义于,在ROC内，，则100()xt(,T0101()()()TTtttxtedtxteedt100()()TTtextedt1表明也在收敛域内。6.双边信号的ROC如果存在，一定是S平面内平行于轴的带形区域。j0()()0()1[1]TatstTsatsaTXseedtedtesa例1.()xtate0其它0tTt考查零点，令()1saTe例2.()btxte()()()btbtxteuteut有极点sa()Xs显然在也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。sa()Xs2sajkT得（k为整数）当时，上述ROC有公共部分，0b11()XssbsbRe[]bsb当时，上述ROC无公共部分，表明不存在。0b()Xs1(),bteutsbRe[]sb1(),bteutsbRe[]sbbjb当是有理函数时，其ROC总是由的极点分割的。ROC必然满足下列规律：()Xs()Xs3.双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域。()Xs2.左边信号的ROC一定位于最左边极点的左边。()Xs1.右边信号的ROC一定位于最右边极点的右边。例3.21()321112Xsssss可以形成三种ROC：1)ROC：2)ROC：3)ROC：Re[]2sRe[]1s2Re[]1sj12()xt此时是右边信号。()xt此时是左边信号。()xt此时是双边信号。TheInverseLaplaceTransform一.定义：由()()stXsxtedt若在ROC内，则有:sj()()[()]tjttXjxteedtxteF[1()()2tjtxteXjed11()()()22tjtstxtXjeedXsed9.3拉普拉斯反变换当从时,从sjj由sjdsjd得拉氏反变换表明:可以被分解成复振幅为的复指数信号的线性组合。()xt1()2Xsdsjste1()()2jstjxtXsedsj的反变换()Xs二.拉氏反变换的求法:对有理函数形式的求反变换一般有两种方法,即部分分式展开法和留数法。()Xs1.将展开为部分分式。()Xs部分分式展开法：3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。()Xs2.根据的ROC，确定每一项的ROC。1,2ss极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。1()(1)(2)Xsss例1.右边信号12j左边信号12j双边信号12j例2.1()(1)(2)XsssROC:2Re[]1s11()12Xsss1:Re[]1()R1OCtseuts21:Re[]2ROC()2tseuts2()()()ttxteuteut1.求出的全部极点。()Xs留数法（当是有理函数时）：()Xs()stXse()xt3.求出在ROC右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了的反因果部分。()stXse()xt2.求出在ROC左边的所有极点处的留数之和，它们构成了的因果部分。例3.1()12Xsss:2Re[O1R]Cs12()Res[(),]Res[(),]ststxtXsesXses12211()()21()()ststsstteuteutsseuteut()Xs的极点位于ROC的右边，位于ROC的左边。22s11s•可以用零极点图表示的特征。当ROC包括轴时，以代入，就可以得到。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。()Xsjsj()Xj()Xj()XsGeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole-ZeroPlot9.4由零极点图对傅里叶变换几何求值()Xssa1.单零点情况：矢量称为零点矢量，它的长度表示,其幅角即为。1()Xs1()Xs1sa1||sa1sa0a1sj零点,要求出时的，可以作两个矢量和，则。1ss11()()Xssa1()Xs1sasa1sa1(),Xssa极点sa111()Xssa11()Xssa直接由极点向点作矢量（称为极点矢量），其长度的倒量为,幅角的负值为。1s1()Xs1()Xs2.单极点情况：1sa0a1sj1sa因此有:111()iiiisXsMs对有理函数形式的()Xs()()()iiiisNsXsMDss111()iiiisXsMs111()iiiiXsss3.一般情况：即：从所有零点向点作零点矢量，从所有极点向点作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为。1s1()Xs1()Xs1s当取为轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。考查在轴上移动时所有零、极点矢量的长度和幅角的变化，即可得出的幅频特性和相频特性。1s1sjj()Xj例1.一阶系统：1()(),thteut1/(),(1/)Hss1Re[]s()()()dytytxtdt随着，单调下降，()Hj1时,下降到最大值的12最大值在时取得。0j1/11/|()|Hj1/2相位特性：当时，()0Hj0随着，趋向于。()Hj()Hj/2/2则趋向于。1/1/()Hj例2.二阶系统：12()(),ctcthtMeeut21,21nnc221nM2222()()2()()()nnndytdytytxtdtdxt222212()2nnnnHsssscsc111/21/221nj21njn221n1.当时，有两个实数极点，此时系统处于过阻尼状态。起主要作用。随着,两极点相向移动，向处靠拢。n1c1()Hs2.当时，两极点重合于处，成为二阶极点。系统处于临界阻尼状态。1n3.进一步减小，则二阶极点分裂为共轭复数极点，