数学初一(下)-多边形及其内角和

1多边形及其内角和知识点：多边形的内角和定理1.四边形内角和等于，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．3.一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．结论：多边形的内角和与边数的关系是4.镶嵌的定义：用相状、大小________的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间________、不重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。参考答案：1.360°，能，连接对角线即可；2.（1）2,3,3（2）3,4,43.n-3，n-2，（n-2），（n-2）×180°4.完全一样,不留空隙1.多边形的内角和【例1】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7【解析】根据内角和定理180°•（n－2）即可求得．【答案】多边形的内角和公式为（n－2）•180°，（n－2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故选C．练习1．（2014湖南长沙实验中学期中）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B练习2．（2014广东湛江三中月考）四边形的内角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°【答案】B22.正多边形的内角和问题【例2】正八边形的每个内角为（）A．120°B．135°C．140°D．144°【解析】根据正八边形的内角公式得出：[（n﹣2）×180]÷n=[（8﹣2）×180]÷8=135°．【答案】B练习3.（2014杭州一中期中）正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．9B．8C．7D．4【答案】B练习4.（2014贺州实验学校月考）已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边是__________．【答案】六3.外角和问题【例3】（2014广西百色一中一模）五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°【解析】根据多边形的外角和等于360°解答．【答案】B练习5．（2014山西省实验中学月考）一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C练习6.（2014四川眉山二中期中）若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12B．11C．10D．9【答案】A4.内角和和外角和综合问题【例4】（2014辽宁阜新八中期中）已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为______边形．【解析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．【答案】设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故答案为：八．练习7.（2014福建莆田四中月考）若一个正多边形的一个外角为40º，则这个正多边形是_______边形．【答案】九练习8.（2014广西来宾一中月考）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形【答案】D5.对角线问题【例5】（2014四川广安五中月考）若凸边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．n3【解析】n边形的内角和为(n－2)×180°，从边形的一个顶点出发，能因条对角线，故边形共有条对角线．【答案】由题意可知(n－2)×180°＝1260°，解得，所以从一个顶点出发能引9－3＝6（条）对角线．练习9．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形【答案】A练习10.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8D．9条【答案】D6.综合问题【例6】（2014福建龙岩一中期中）如图，依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn．则S90的值为_________________．（结果保留π）【解析】根据题意可得出，重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角是多边形的内角和，根据扇形的面积公式：S=2360nr进行计算即可．【答案】S3=2360nr=1801360=12π；S4=2360nr=360360=π；…S90=2360nr=(902)180360=44π．故答案为44π．练习11.（2014江苏南京中考）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线L∥CD，则∠1=．【答案】∵L∥CD，正五边形ABCDE，∴∠1=∠2，∠BAE=540°÷5=108°，∴∠1=∠2=180°﹣∠BAE，即2∠1=180°﹣108°，∴∠1=36°．故答案为：36°．n3nn32nn9n4练习12.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。【答案】97.镶嵌【例7】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【解析】知识点：两个正多边形的内角中各取一个内角的和是360°。[来源:Z。xx。【答案】B练习13.如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（）A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形【答案】D练习14．李刚同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖中，用一种瓷砖可以密铺平面的是（）A.(1)(2)(4)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)【答案】A练习15.如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺地面的方案？把你想到的方案画成草图．【答案】（1）每个顶点周围有6个正三角形的内角，恰好组成一个周角；（2）不能，因为正十边形的内角不能组成360°；（3）能，如图所示：1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角【答案】B2.若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形5【答案】D3.随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）A．增加B．减小C．不变D．不定【答案】C4.若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（）A．3B．4C．5D．7【答案】B5.一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（）A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形【答案】D6.一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（）A．四边形B.五边形C．六边形D．七边形【答案】B7.一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1080°【答案】B8.n边形的n个内角中锐角最多有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C9.多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D.十一边形【答案】C10.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？【答案】5,20，条11.已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．【答案】1212.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的21，求这个多边形的边数.【答案】613.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】1514.四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C和∠D的度数．【答案】120°，30°15.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的五分之一，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数。【答案】150°，十二边形16.只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形32nn6【答案】C1．一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的边数是__________；一个多边形的每一个内角都等于140°，则它的边数是___________。【答案】九，九2．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为_______。【答案】60°，90°，120°3．若一个多边形的内角和为1080°，则它的边数是___________。【答案】八4.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加_________度。【答案】1805.正十边形的一个外角为______．【答案】36°6._______边形的内角和与外角和相等．【答案】四7.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，则这个多边形是_____边形．【答案】十8.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【答案】B9.一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是（）A.正六边形B.正七边形C.正八边形D.正九边形【答案】C10.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．【答案】六11.如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．【答案】24012.一个多边形的每一个外角都等于24°,求这个多边形的边数.【答案】十五边形13.如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE﹣∠ABC=30°．（1）求∠D的度数；（2）AB∥CD吗？请说明理由．【答案】（1）∵AE⊥DE，∴∠AED=90°，而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5﹣2）×180°=540°，∠BAE=120°，∠BCD=60°，7∴∠D+∠B=540°﹣90°﹣120°﹣60°=270°，∵∠CDE﹣∠ABC=30°．∴∠D=150°；（2）AB∥CD．理由如下：∵∠BAE=120°，∠BCD=60°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．14.以四边形ABCD各个顶点为圆心，1cm长为半径画弧，则图中阴影部分面积之和是cm2．【答案】∵图中四个扇形的圆心角的度数之和为四边形的四个内角的和，且四边形内角和为360°，∴图中四个扇形构成了半径为1的圆，∴其面积为：πr2=π×12=π．故答案为：π．15.如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．【答案】21