中考数学抛物线与几何问题精选(含答案)

请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C．(10)A，，(03)C，点AC，都在抛物线上，23033acc333ac抛物线的解析式为2323333yxx顶点4313F，（2）存在1(03)P，2(23)P，（3）存在理由：延长BC到点B，使BCBC，连接BF交直线AC于点M，则点M就是所求的点．过点B作BHAB于点H．B点在抛物线2323333yxx上，(30)B，AOxyBFCAOxyBFC图9HBM请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网△中，3tan3OBC，30OBC，23BC，在RtBBH△中，1232BHBB，36BHBH，3OH，(323)B，设直线BF的解析式为ykxb233433kbkb解得36332kb33362yx3333362yxyx解得371037xy，310377M，在直线AC上存在点M，使得MBF△的周长最小，此时310377M，．2、（山东济南）已知：抛物线2yaxbxc(a≠0)，顶点C(1，3)，与x轴交于A、B两点，(10)A，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断PMPNBEAD是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PAEFPBEG是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE，PMAPBEAB同理:PNPBADAB（3）证PH=BH且△APM∽△PBH再证△MEP∽△EGF可得。解：(1)设抛物线的解析式为2(1)3yax将A(－1，0)代入:20(11)3a∴34a∴抛物线的解析式为23(1)34yx，即：2339424yxx（2）是定值，1PMPNBEAD∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE∴△APM∽△ABE，∴PMAPBEAB①同理:PNPBADAB②①+②:1PMPNAPPBBEADABAB（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB∴EA=EB∵∠AEB=90°∴△AEB为等腰直角三角形．∴∠EAB=∠EBA=45°.......................7分如图，过点P作PH⊥BE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，∴PH=ME且PH∥ME在△APM和△PBH中∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°∴PH=BH且△APM∽△PBH∴PAPMPBBH∴PAPMPMPBPHME①在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF∴PMEFMEEG②COxADPMEBNy请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网由①、②知：PAEFPBEG3、(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣∣OC∣），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=23，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式OCOBOA2来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。解：（1）∵平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q,∴抛物线F对应的解析式为:btxty2)(.∵抛物线与x轴有两个交点，∴0bt.令0y,得tOBtb，tOCtb,∴tOCOB(|||||tb)(ttb)|2|t22|OAttb,即22tttb,所以当32tb时,存在抛物线F使得||||||2OCOBOA.--2分(2)∵BCAQ//,∴bt,得F:ttxty2)(,解得1,121txtx.在RtAOB中,1)当0t时,由||||OCOB,得)0,1(tB,请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得3t,此时,二次函数解析式为241832xxy;当01t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得t53,此时，二次函数解析式为y532x+2518x+12548.2)当0t时,由||||OCOB,将t代t,可得t53,3t,（也可由x代x，y代y得到）所以二次函数解析式为y532x+2518x–12548或241832xxy.4、(江苏常州)如图,抛物线24yxx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当462682S时,求x的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x0、②当点P在第四象限是，x0这二种情况。解：（1）∵4)2(422xxxy∴A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)四边形ABP3O为直角梯形时，P1(5854，)请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网为直角梯形时，P1(51256，)（3）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x①当点P在第二象限时，x0,△POB的面积xxSPOB4)2(421∵△AOB的面积84421AOBS，∴)0(84xxSSSPOBAOB∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴22412232Sx∴x的取值范围是22322241x②当点P在第四象限是，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′则四边形POA′A的面积44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网∵△AA′B的面积42421BAAS∴)0(84xxSSSBAAAAPO∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴21242223Sx∴x的取值范围是21242223x5、（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy，∵A（2，4），∴42k,2k,∴OA所在直线的函数解析式为2yx（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴2ym（0≤m≤2）.∴顶点M的坐标为(m,2m).∴抛物线函数解析式为2()2yxmm.yBOAPMx2x请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网∴当2x时，2(2)2ymm224mm（0≤m≤2）.∴点P的坐标是（2，224mm）.②∵PB=224mm=2(1)3m，又∵0≤m≤2，∴当1m时，PB最短（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为212xy.假设在抛物线上存在点Q，使QMAPMASS.设点Q的坐标为（x，223xx）.①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，∵3PB，4AB，∴1AP，∴1OC，∴C点的坐标是（0，1）.∵点P的坐标是（2，3），∴直线PC的函数解析式为12xy.∵QMAPMASS，∴点Q落在直线12xy上.∴223xx=21x.解得122,2xx，即点Q（2，3）.∴点Q与点P重合.∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等.②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，∵1AP，∴1EODA，∴E、D的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线DE函数解析式为12xy.∵QMAPMASS，∴点Q落在直线12xy上.DyOABPMx2xCE请加QQ群259315766，2013年中考数学压轴题(二次函数+圆)免费答疑北达教育旗下北京中考网∴223xx=21x.解得：122x，222x.代入12xy，得1522y，2522y.∴此时抛物线上存在点